В пособии рассматриваются вычислительные методы, наиболее часто встречающиеся в практике инженерных и научно- технических расчетов: методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, методы аппроксимации, численное интегрирование и дифференцирование функций, поиск экстремумов, методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Значительное внимание уделяется особенностям реализации вычислительных алгоритмов и оценке достоверности полученных результатов. Включены материалы, необходимые для организации цикла практических и лабораторных работ. Для студентов и аспирантов технических вузов.

• ТИТУЛ
  • ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА.
• Аннотация
  • Аннотация.
• Лекции
  • 1.Введение.
    • 1.1.Источники погрешностей.
    • 1.2.Погрешность округления.
    • 1.3.Особенности машинной арифметики
    • 1.4.Правила записи приближенных чисел.
    • 1.5.Корректность и обусловленность задач и алгоритмов.
  • 2.Конечные, разделенные разности и сеточные функции.
    • 2.1. Конечные разности и их свойства.
    • 2.2.Разделенные разности и их свойства.
  • 3.Интерполирование функций.
    • 3.1.Постановка задачи. Алгебраическое интерполирование.
      • 3.2. Формулы алгебраической интерполяции.
    • 3.2.1 Интерполяционный полином в форме Лагранжа.
    • 3.2.2. Интерполяционный полином в форме Ньютона.
    • 3.3.Остаточный член интерполяционного полинома. Оценка погрешности интерполирования.
    • 3.4. Минимизация погрешности интерполирования.
    • 3.5. Сходимость интерполяционного метода.
    • 3.6. Устойчивость интерполяционного полинома относительно погрешности вычисления y(x).
      • 3.7. Интерполяция сплайнами.
    • 3.7.1.Обсуждение способа построения кубического интерполяционного сплайна с дефектом 1.
    • 3.7.2.B сплайны.
  • 4.Среднеквадратичное приближение
    • 4.1.Постановка задачи для f(x).
    • 4.2.Постановка задачи для приближения векторов
      • 4.3.Определения.
      • 4.4.Решение задачи.
  • 5.Ортогонализация
    • 5.1.Постановка задачи
    • 5.2.Процедура построения системы ортогональных базисных элементов.
  • 6.Равномерное приближение функций.
    • 7.ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
  • 8.Численное интегрирование.
    • 8.2. Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами (формулы Ньютона – Котеса).
    • 8.3.Составные квадратурные формулы.
    • 8.3.1.Простейшие составные квадратурные формулы.
      • 8.3.1.1. Составная формула левых прямоугольников.
      • 8.3.1.2. Составная формула правых прямоугольников.
      • 8.3.1.3. Составная формула трапеций.
      • .
      • 8.3.1.4. Составная формула Симпсона.
    • 8.4.Квадратурные формулы наивысшей степени точности (формулы Гаусса).
    • 8.5.Практическая оценка погрешности (правило Рунге).
    • 8.6.Адаптивные процедуры численного интегрирования.
    • 8.7.Обусловленность квадратурных формул интерполяционного типа.
    • 8.8.Примеры использования квадратурных формул.
    • 8.9.Применение формул Ньютона- Котеса.
    • 8.10.Применение формул Гаусса.
  • 9.Дополнительные элементы линейной алгебры и теории матриц
    • 9.1.Собственные числа и векторы.
    • 9.2.Решение системы линейных однородных уравнений с вырожденной матрицей.
  • 9.3.Подобное преобразование.
    • 9.4.Приведение к канонической форме Жордана.
    • 9.5.Вычисление матрицы преобразования.
  • 9.6. Функции от матриц.
  • 9.7.Многочлен Лагранжа – Сильвестра.
  • 9.8.Свойства матричной экспоненты.
  • 9.9.Использование канонической формы Жордана при вычислениях матричных функций.
  • 9.10.Дифференциальные уравнения и матричная экспонента.
  • 9.11.Решение системы разностных уравнений.
  • 9.12.Матричные нормы.
  • 9.13.Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений.
    • 9.13.1. Основные понятия теории устойчивости.
    • 9.13.2..Анализ устойчивости решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
    • 9.13.3.Анализ устойчивости решения систем линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.
  • 10.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
    • 10.1.2.Методы Рунге – Кутты.
    • 10.1.3.Контроль точности методов Рунге – Кутты.
    • 10.2. Методы эквивалентных интегральных уравнений
    • 10.3. Свойство жесткости систем дифференциальных уравнений
  • 11.Решение систем линейных алгебраических уравнений.
    • 11.1.Нормы вектора и матрицы.
    • 11.2.Постановка задачи.
    • 11.3.Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений.
    • 11.4.Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
    • 11.4.1.Метод Гаусса и LU разложение.
    • 11.4.2.Метод Холецкого (метод квадратного корня).
    • 11.4.3.QR разложение матрицы и решение систем линейных алгебраических уравнений.
    • 11.5.Сравнительные характеристики прямых методов решения систем линейных алгебраических уравнений.
  • 11.6.Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
    • 11.7.Решение линейных алгебраических систем с трехдиагональной матрицей методом прогонки.
  • 12.Методы отыскания решений нелинейных уравнений.
    • 12.1. Постановка задачи.
    • 12.2. Основные этапы решения.
    • 12.3. Обусловленность задачи вычисления корня.
    • 12.4. Методы отыскания решений нелинейных уравнений.
    • 12.4.1 Метод бисекции.
    • 12.4.2 Метод простых итераций.
    • 12.4.3 Метод Ньютона.
  • 13.Методы отыскания решений систем нелинейных уравнений.
    • 13.1. Постановка задачи.
      • 13.2. Разложение в ряд Тэйлора вектор - функции F=(f1, f2,…,fn)T.
      • 13.3. Метод Ньютона.
      • 13.4. Метод простых итераций.
      • 13.5. Упражнения.
  • 14. Методы решения проблемы собственных значений.
    • 14.1. Постановка задачи.
      • 14.2.QR алгоритм
      • 14.3. Метод Якоби для действительных симметричных матриц.
      • 14.4. Степенной метод.
      • 14.5. Метод обратных итераций для вычисления собственных векторов.
      • 14.6. Упражнения.
  • 15.Введение в минимизацию функций.
    • 15.1.Минимизация функции одной переменной.
    • 15.1.1. Постановка задачи. Определения.
    • 15.1.2. Метод деления отрезка пополам.
    • 15.1.3. Метод золотого сечения.
      • 15.2.Введение в многомерную минимизацию.
    • 15.2.1. Постановка задачи.
    • 15.2.2. Поверхности уровня. Градиент и матрица Гессе. Необходимые и достаточные условия локального минимума.
    • 15.2.3. Задача минимизации квадратичной функции.
    • 15.2.4. Обусловленность задачи минимизации.
    • 15.2. 5. Понятие о методах спуска.
      • 15.2.6. Покоординатный спуск.
    • 15.2.7. Градиентный метод.
    • 15.2.8. Метод Ньютона.
      • 15.2.9. Метод Левенберга – Марквардта.
      • 16.Методы решения краевой задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
    • 16.1. Постановка задачи.
    • 16.2. Метод стрельбы (баллистический метод).
    • 16.3. Разностный метод (метод конечных разностей).
  • 17.Сингулярное разложение и метод наименьших квадратов.
    • 17.1. Решение переопределенной системы уравнений.
    • 17.2. Сингулярное разложение матрицы.
    • 17.3. Метод наименьших квадратов с использованием сингулярного разложения.
  • Рекомендуемая литература