В книге последовательно излагаются численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, обращения матриц, полной и частичной алгебраических проблем собственных значений; рассматриваются алгоритмы ортогонального и сингулярного разложения матриц, а также методы решения нелинейных скалярных уравнений и систем таких уравнений. Показываются идеи, выводы, обоснования и взаимосвязь методов, обсуждается их эффективность и особенности реализаций. Методы иллюстрируются численными примерами. Имеются задания для упражнений и лабораторных работ. Пособие предназначено для студентов математических и инженерных специальностей вузов и может быть полезно всем, кто интересуется вычислительной математикой.

• Предисловие
• Глава 1. ОБ УЧЕТЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
  • 1.1. Общая формула для оценки главной части погрешности
  • 1.2. Статистический и технический подходы к учету погрешностей действий
  • 1.3. Понятие о погрешностях машинной арифметики
  • 1.4. Примеры неустойчивых задач и методов
  • 1.5. Обусловленность линейных алгебраических систем
  • 1.6. Погрешности корней скалярных уравнений с приближенными коэффициентами
  • 1.7. Корректные и некорректные задачи. Понятие о методах регуляризации
  • Упражнения
• Глава 2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ)
  • 2.0. Введение
  • 2.1. Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса с постолбцовым выбором главного элемента
  • 2.2. Применение метода Гаусса к вычислению определителей и к обращению матриц
  • 2.3. LU-разложение матриц
  • 2.4. Решение линейных систем и обращение матриц с помощью LU-разложения
  • 2.5. Разложение симметричных матриц. Метод квадратных корней
  • 2.6. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов
  • 2.7. Метод вращений решения линейных систем
  • 2.8. Два замечания к применению прямых методов
    • 2.8.1. О контроле точности и уточнении приближенного решения в рамках прямого метода
    • 2.8.2. О вычислительных затратах
  • Упражнения
• Глава 3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ОБРАЩЕНИЯ МАТРИЦ
  • 3.1. Решение СЛАУ методом простых итераций
  • 3.2. Метод Якоби
  • 3.3. Метод Зейделя
  • 3.4. Понятие о методе релаксации
  • 3.5. О других итерационных методах решения СЛАУ
  • 3.6. Быстросходящийся итерационный способ обращения матриц
  • 3.7. О роли ошибок округления в итерационных методах
  • Упражнения
• Глава 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
  • 4.1. Собственные пары матрицы и их простейшие свойства
  • 4.2. Степенной метод
  • 4.3. Обратные итерации
  • 4.4. Метод вращений Якоби решения симметричной полной проблемы собственных значений
  • 4.5. Понятие об LU- и QR-алгоритмах для несимметричных задач
  • Упражнения
• Глава 5. ОРТОГОНАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
  • 5.1. Преобразование Хаусхолдера. QR-факторизация матриц
  • 5.2. Метод отражений решения СЛАУ
  • 5.3. Матрица Хессенберга
  • 5.4. Преобразование Гивенса
  • 5.5. Сдвиги и понижение размерности в QR-алгоритме
  • Упражнения
• Глава 6. СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ
  • 6.1. Сингулярные числа и сингулярное разложение
  • 6.2. Стратегия получения SVD-разложения. Этап двухдиагонализации
  • 6.3. Разложение двухдиагональной матрицы
  • 6.4. Некоторые применения SVD-разложений
    • 6.4.1. Ранг матрицы
    • 6.4.2. Модуль определителя
    • 6.4.3. Число обусловленности
    • 6.4.4. Общее решение однородной системы
    • 6.4.5. Решение произвольной СЛАУ
    • 6.4.6. Псевдообратная матрица
  • Упражнения
• Глава 7. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СКАЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ
  • 7.1. Локализация корней
  • 7.2. Метод дихотомии. Метод хорд
  • 7.3. Типы сходимостей итерационных последовательностей
  • 7.4. Метод Ньютона
  • 7.5. Применение метода Ньютона к вычислению значений функций
  • 7.6. Модификации метода Ньютона. Метод секущих
  • 7.7. Полюсные методы Ньютона и секущих
  • Упражнения
• Глава 8. СКАЛЯРНАЯ ЗАДАЧА О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИ
  • 8.1. Задача о неподвижной точке. Метод простых итераций
  • 8.2. Ускорение сходимости последовательных приближений
    • 8.2.1. процесс Эйткена
    • 8.2.2. Метод Вегстейна
  • 8.3. Нелинейные уравнения с параметром. Бифуркации
  • 8.4. О методах решения алгебраических уравнений. Метод Бернулли
  • Упражнения
• Глава 9. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
  • 9.1. Векторная запись нелинейных систем. Метод простых итераций
  • 9.2. Метод Ньютона, его реализации и модификации
  • 9.3. Метод Брауна
  • 9.4. Метод секущих Бройдена
  • 9.5. Обобщение полюсного метода Ньютона на многомерный случай
  • 9.6. О решении нелинейных систем методами спуска
  • 9.7. Численный пример
  • 9.8. Сходимость метода Ньютона и некоторых его модификаций
  • Упражнения
• Приложение 1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О НОРМАХ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ
• Приложение 2. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ
• Приложение 3. ОБРАЗЦЫ ПОСТАНОВОК ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАДАНИЙ
• ЛИТЕРАТУРА
• ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
• УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ
• ОБ АВТОРЕ