Излагаются методы аналитического описания двух переходных процессов, реализующихся в гармонических (линейных) кристаллах со случайными начальными условиями: уравнивания кинетической и потенциальной энергий и перераспределения энергии по степеням свободы. Для аналитического описания используется подход, основанный на анализе динамики ковариаций перемещений и скоростей частиц. С использованием матричного аппарата выкладки проводятся для гармонических кристаллов со сложной кристаллической решеткой достаточно общего вида. Выводятся точные формулы, описывающие изменение кинетических энергий (температур), приходящихся на различные степени свободы элементарной ячейки кристалла. Полученные общие формулы применяются для анализа переходных процессов в ряде конкретных одномерных и двумерных кристаллов. Численно исследуется влияние малой нелинейности на рассматриваемые переходные процессы. Соответствует государственному образовательному стандарту и содержанию направлений подготовки бакалавров и магистров 01.03 «Механика и математическое моделирование» и 15.03 «Прикладная механика». Предназначено для студентов, специализирующихся в области механики, термодинамики и физики конденсированного состояния.

We present methods for the analytical description of two transient processes in harmonic (linear) crystals with random initial conditions, namely, equilibration of kinetic and potential energies and redistribution of energy over degrees of freedom of the unit cell. For analytical description, an approach based on the analysis of the covariances of particle displacements and velocities is used. Using a matrix formalism, derivations are carried out for harmonic crystals with a complex lattice of a fairly general form. Exact formulas are derived to describe the changes in kinetic energies (temperatures) corresponding to different degrees of freedom of the unit cell. These formulas are used to analyze transient processes in a number of specific onedimensional and two-dimensional crystals. The effect of weak nonlinearity on the considered transient processes is numerically investigated. This work corresponds to the state educational standard and the content of bachelor’s and master’s degree courses 01.03 «Mechanics and mathematical modeling» and 15.03 «Applied mechanics». The work is suitable for students specializing in mechanics, thermodynamics, and condensed matter physics.

• ОГЛАВЛЕНИЕ
• ВВЕДЕНИЕ
• 1. Решетки с одной степенью свободы на элементарную ячейку
• 1.1. Уравнения движения и начальные условия
• 1.2. Дисперсионное соотношение
• 1.3. Точное решение уравнений движения с использованием дискретного преобразования Фурье
• 1.4. Упавнение динамики ковариаций скоростей
• 1.5. Колебания кинетической энергии
• 1.6. Пример. Цепочка Гука
• 1.7. Пример. Квадратная решетка (поперечные колебания)
• 1.8. Пример. Треугольная решетка (поперечные колебания)
• 1.9. Заключительные замечания
• 2. Решетки с несколькими степенями свободы на элементарную ячейку
• 2.1. Матричная запись уравнений движения
• 2.2.Некоторые свойства эрмитовых матриц
• 2.3. Дисперсионное соотношение
• 2.4. Уравнение динамики ковариаций
• 2.5. Колебания кинетических энергий
• 2.6. Дополнительные законы сохранения
• 2.7. Равновесные значения кинетических энергий
• 2.8. Пример. Цепочка с чередущимися массами и жесткостями
• 2.8.1. Уравнения динамики
• 2.8.2. Дисперсионное соотношение
• 2.8.3. Колебания кинетической энергии
• 2.8.4. Перераспределение кинетической энергии между подрешетками
• 2.9. Пример. Треугольная решетка (колебания в плоскости)
• 2.9.1. Общие соотношения
• 2.9.2. Уравнения кинетической и потенциальной энергии
• 2.9.3. Вычесление ковариации деформаций в задачах о тепловом расширении
• 2.10. Пример. Решетка графена (поперечные колебания)
• 2.10.1. Уравнения динамики
• 2.10.2. Дисперсионное соотношение
• 2.10.3.Колебания кинетической энергии
• 2.10.4.Перераспределение энергии между подрешетками
• 2.11. О влиянии нелинейности на переходные процессы
• 2.12. Заключительные замечания
• Заключение
• Библиографический список