В работе рассматривается начально-краевая задача для волнового уравнения для случая трех пространственных переменных. Вводится определение обобщенного решения и доказывается теорема существования и единственности. Предложена новая формула, являющаяся аналогом известного интеграла Дюамеля. Большая часть статьи посвящена анализу дифференциальных свойств решения. В частности, указано на возможность разрыва второй частной производной по времени на некоторой гиперплоскости и приведена величина ее разрыва. Это свойство позволило поставить обратную задачу об определении коэффициента уравнения и предложить алгоритм ее решения при условии ненулевого внутреннего воздействия на некотором двумерном подмножестве. При этом известными данными считались значения положения фиксированной колеблющейся точки в каждый момент времени.

The paper considers the initial boundary value problem for the wave equation for the case of three spatial variables. The definition of a generalized solution has been introduced and the theorem of unique existence has been proved. A new formula was proposed, being an analog of the well-known Duhamel integral. The most part of the paper is devoted to the analysis of differential properties of the solution. In particular, the possibility of breaking the second partial time derivative on a certain hyperplane was indicated, and its break value was given. This property allowed us to set the inverse problem of determining the coefficient of the equation and propose an algorithm for solving it under the condition of non-zero internal action on a 2D subset. In this case, the known data were considered to be the values of a fixed oscillating point’s position at every moment of time. applying the results obtained for a smaller number of variables. For physical interpretation, the case of two spatial variables is the most obvious as a study of the process of transverse vibrations of semi-bounded surfaces of the membrane type. Here is a list of some publications by other authors that are close to the topic of our work.

Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Сер.: Физико-математические науки. — Санкт-Петербург: СПбПУ, 2019 -. — Электрон. журнал. — Периодичность: 4 раза в год. — Выходит с 07.2019. — Свободный доступ из сети Интернет (чтение, печать, копирование). — Текст: электронный

Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Сер.: Физико-математические науки. — Санкт-Петербург: СПбПУ, 2019 -. Т. 14, № 1, 2021. — 1 файл (11,3 Мб). — Свободный доступ из сети Интернет (чтение, печать, копирование). — <URL:http://elib.spbstu.ru/dl/2/j21-240.pdf>.