В данной работе рассматриваются колебания двойного математического маятника с идентичными звеньями и концевыми грузами. Производится вывод точных нелинейных уравнений движения системы, из которых получаются классическая линейная модель малых колебаний, а также слабо-нелинейная модель колебаний, учитывающая кубическую нелинейность. Дается известное решение задачи о малых колебаниях двойного маятника, которое служит базой для дальнейшего исследования. При помощи асимптотических методов нелинейной механики осуществляется построение приближенного решения для слабо-нелинейной модели сначала при движении системы по каждой из нелинейных форм колебаний, а затем и полного решения, справедливого при произвольных начальных условиях. Показано, что найденное полное решение имеет нетривиальную структуру, представляя собой полигармонические колебания на восьми различных частотах. Полученные приближенные формулы сопровождаются графическими иллюстрациями, дающими сравнение поведения углов отклонения звеньев маятника от вертикали при использовании линейной и слабо-нелинейной моделей, а также исходной нелинейной модели, обсчет которой производится при помощи численного интегрирования. Сделанные выводы представляют интерес для аналитической механики и теории колебаний, а также могут быть использованы на практике в задачах робототехники и биомехатроники.

This paper considers oscillations of a double mathematical pendulum with identical links and end weights. Exact nonlinear equations of motion of the system are derived, from which a classical linear model of small oscillations is obtained, as well as a weakly nonlinear oscillation model that considers cubic nonlinearity. A well-known solution to the problem of small oscillations of a double pendulum is given, which serves as a basis for further research. With the help of asymptotic methods of nonlinear mechanics, an approximate solution is constructed for a weakly nonlinear model, first when the system moves along each of the nonlinear vibration modes, and then a complete solution that is valid under arbitrary initial conditions. It is shown that the found complete solution has a nontrivial structure, representing polyharmonic oscillations at eight different frequencies. The resulting approximate formulas are accompanied by graphical illustrations that compare the behavior of the angles of deviation of the pendulum links from the vertical when using linear and weakly nonlinear models, as well as the original nonlinear model, which is calculated using numerical integration. The conclusions drawn are of interest for analytical mechanics and the theory of oscillations and can also be used in practice in problems of robotics and biomechatronics.