Детальная информация

Цель работы заключается в исследовании распределения собственных значений в различных ансамблях случайных матриц на основе численных и теоретических методов анализа. Основные задачи исследования: 1. Исследование теоретических основ теории случайных матриц, включая гауссовские ансамбли (GUE, GOE, GSE) и асимметричные эрмитовы матрицы. 2. Изучение полукругового закона Вигнера и полиномов Эрмита и Лагерра, играющих важную роль в описании корреляционных функций и плотности состояний. 3. Анализ распределения собственных значений в гауссовских ансамблях с использованием численных методов и закона полукруга Вигнера. 4. Исследование асимметричных ансамблей, включая ансамбли вещественных асимметричных матриц и ансамбль Жинибра. 5. Разработка и реализация численных методов для генерации случайных матриц и анализа распределения их собственных значений. Основные результаты: • Теоретический анализ свойств гауссовских ансамблей и их влияние на распределение собственных значений. • Разработка и реализация программного кода для генерации случайных матриц и вычисления их собственных значений. • Проведение численных экспериментов, подтверждающих теоретические предсказания и выявляющих влияние параметров ансамблей на распределение собственных значений. • Изучение влияния параметра α, определяющего степень асимметричности матрицы, и параметра β, связанного с модулем Вандермонда. • Использование логарифмических преобразований и многопроцессорной обработки для повышения точности и эффективности вычислений. • Полученные результаты могут быть использованы для моделирования и анализа сложных систем в различных областях науки и техники. Работа вносит значительный вклад в понимание распределения собственных значений в различных ансамблях случайных матриц и предлагает эффективные методы для их численного анализа.

The aim of this work is to study the distribution of eigenvalues in various ensembles of random matrices based on numerical and theoretical methods of analysis. Main research tasks: 1. Investigation of the theoretical foundations of the theory of random matrices, including Gaussian ensembles (GUE, GOE, GSE) and asymmetric Hermitian matrices. 2. Study of the Wigner semicircle law and Hermite and Laguerre polynomials, which play an important role in describing correlation functions and state densities. 3. Analysis of the distribution of eigenvalues in Gaussian ensembles using numerical methods and the Wigner semicircle law. 4. Investigation of asymmetric ensembles, including ensembles of real asymmetric matrices and the Ginibre ensemble. 5. Development and implementation of numerical methods for generating random matrices and analyzing the distribution of their eigenvalues. Main results: • Theoretical analysis of the properties of Gaussian ensembles and their influence on the distribution of eigenvalues • Development and implementation of software code for generating random matrices and calculating their eigenvalues. • Conducting numerical experiments confirming theoretical predictions and revealing the influence of ensemble parameters on the distribution of eigenvalues. • Study of the influence of the parameter α\alphaα determining the degree of asymmetry of the matrix, and the parameter β\betaβ related to the Vandermonde module. • Use of logarithmic transformations and multiprocessing to increase the accuracy and efficiency of calculations. • The obtained results can be used for modeling and analyzing complex systems in various fields of science and technology. This work makes a significant contribution to understanding the distribution of eigenvalues in various ensembles of random matrices and proposes effective methods for their numerical analysis.