В данной дипломной работе проведено исследование влияния параметров нейронной сети на численное решение двухточечной краевой задачи с использованием метода Deep Ritz. Предметом исследования является метод Deep Ritz, применяемый для решения краевых задач, а тема работы – анализ точности и эффективности этого метода при различных параметрах нейронной сети. Цель работы заключается в определении оптимальных параметров нейронной сети, таких как количество слоев, количество нейронов, тип активационной функции и параметры оптимизации, для повышения точности и эффективности численного решения краевых задач. Методология исследования включала численное решение двух задач с заданными функциями \( f = \sin(x) \) и кусочной функцией при помощи метода Deep Ritz и нейронной сети. Сравнение точного и предсказанного решений проводилось с построением трехмерных графиков зависимости глубины сети, количества итераций и относительной погрешности. На основе этих графиков были найдены оптимальные значения параметров, после чего проведены повторные эксперименты для оценки стабильности результатов. Результаты показали, что метод Deep Ritz позволяет получать решения с высокой точностью, близкой к точным решениям. Оптимальные параметры сети значительно улучшают скорость сходимости и точность метода. Повторные эксперименты подтвердили незначительные изменения в решениях, что свидетельствует о надежности метода. Область применения результатов данной работы включает разработку более эффективных алгоритмов численного решения краевых задач с использованием глубокого обучения. Выводы работы подтверждают, что метод Deep Ritz может существенно облегчить решение подобных задач, обеспечивая высокую точность и эффективность.

This thesis explores the impact of neural network parameters on the numeric- al solution of a two-point boundary value problem using the Deep Ritz method. The subject of the study is the Deep Ritz method applied to boundary value problems, and the topic is analyzing the accuracy and efficiency of this method under various neural network parameters. The goal of the work is to determine the optimal parameters of the neural network, such as the number of layers, number of neurons, type of activation function, and optimization parameters, to improve the accuracy and efficiency of the numerical solution of boundary value problems. The research methodology included numerically solving two problems with given functions \( f = \sin(x) \) and a piecewise function using the Deep Ritz method and a neural network. Comparison of the exact and predicted solutions was conducted by constructing three-dimensional graphs of the dependence of network depth, number of iterations, and relative error. Based on these graphs, optimal parameter values were found, followed by repeated experiments to assess the stability of the results. The results showed that the Deep Ritz method provides solutions with high accuracy, close to the exact solutions. Optimal network parameters significantly improve the convergence speed and accuracy of the method. Repeated experim- ents confirmed insignificant changes in solutions, indicating the reliability of the method. The application area of the results of this work includes the development of more efficient algorithms for the numerical solution of boundary value problems using deep learning. The conclusions of the work confirm that the Deep Ritz method can significantly simplify the solution of such problems, ensuring high accuracy and efficiency.

• ВВЕДЕНИЕ
  • ОПИСАНИЕ ЗАДАЧИ
  • ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ НЕЙРОННОЙ СЕТИ
  • ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
• ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
  • ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ.
  • АНАЛИЗ ФУНКЦИИ f = (x)
  • АНАЛИЗ КУСОЧНОЙ ФУНКЦИИ f(x)
  • АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ f = (x)
  • АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ КУСОЧНОЙ ФУНКЦИИ
• ГЛАВА 2. МЕТОД DEEP RITZ.
  • ПОСТРОЕНИЕ ПРОБНЫХ ФУНКЦИЙ
  • АЛГОРИТМ стохастического градиентного спуска и квадратурное правило.
  • ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ:
  • ОПТИМИЗАЦИЯ:
• ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ.
  • ИССЛЕДОВАНИЕ ДЛЯ SIN(X)
  • ИССЛЕДОВАНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ ЗАДАННОЙ НА ИНТЕРВАЛАХ.
  • РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛА РИТЦА
  • ПРИМЕР 1.
  • ПРИМЕР 2.
• ВыЫВОД.
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.
• ПРИЛОЖЕНИЕ A. Python код для решения задачи № 1.
• ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Python код для решения задачи № 2.