Детальная информация

Настоящая работа посвящена задаче оптимального размещения двух промежуточных шарнирных опор в консольной балке в рамках моделей статики и динамики. Исследование выполнено на основе классической модели балки Бернулли–Эйлера при допущении однородности материала и постоянства геометрических характеристик. В статической постановке рассмотрены три критерия оптимизации: минимизация максимального прогиба, минимизация максимального изгибающего момента и минимизация потенциальной энергии изгибной деформации. Для каждого из критериев аналитически получены выражения прогиба и изгибающего момента на различных участках балки. Оптимизация выполнена путём численного анализа зависимостей целевых функций от безразмерных координат опор с построением соответствующих контурных графиков и определением экстремальных точек. В динамической постановке целью оптимизации выбрана максимизация первой собственной частоты поперечных изгибных колебаний балки. На основе уравнения колебаний построено трансцендентное частотное уравнение, решение которого позволяет определить зависимость первой частоты от положения опор. Оптимизация выполнена аналогично: путём перебора по допустимой области значений и анализа графика безразмерной частоты. Результаты работы подтверждают, что даже в рамках простой аналитической модели можно добиться существенного улучшения характеристик конструкции за счёт правильного размещения опор. Найденные решения могут быть использованы в практике проектирования различных балочных систем, где важны как статическая прочность, так и вибрационная устойчивость.

This paper investigates the problem of optimal placement of two intermediate hinged supports in a cantilever beam, considered within both static and dynamic formulations. The study is based on the classical Bernoulli–Euler beam model, assuming material homogeneity and constant geometric characteristics. In the static case, three optimization criteria are considered: minimization of the maximum deflection, minimization of the maximum bending moment, and minimization of the strain energy of bending. For each criterion, analytical expressions for deflection and bending moment are derived for all beam segments. Optimization is performed by numerically analyzing the dependence of target functions on the dimensionless coordinates of the supports, with contour plots constructed to locate the extrema. In the dynamic formulation, the objective is to maximize the fundamental natural frequency of transverse vibrations of the beam. Using the equation of motion, a transcendental frequency equation is derived, which allows the dependence of the first natural frequency on the support positions to be investigated. Optimization is carried out by evaluating the frequency across the entire admissible domain and analyzing the resulting contour plot. The results demonstrate that even within a relatively simple analytical framework, significant improvements in structural performance can be achieved by appropriately positioning the supports. The obtained solutions may be of practical use in the design of beam-like structures where both static strength and vibrational stability are critical.