Детальная информация

Данная работа посвящена исследованию динамики периодической цепочки Гука при воздействии вынуждающей силы и получение асимптотического выражения для полной энергии систему. Целью работы является исследование динамики одномерной цепочки Гука при воздействии периодической силы, а также асимптотический анализ полной энергии данной системы, скорости роста энергии. В ходе было получено аналитическое и численное выражение для перемещений частиц с помощью нулевых начальных и периодических граничных условиях. Реализованы графики на языке программирования Python для дисперсионных соотношений, групповой скорости для заданных параметров и в случае варьированния отношения масс, перемещений в элементарной ячейке, на которую действует сила, а также для частиц в разных ячейках. Было получено выражение для энергии через сумму и асимптотическое выражение для энергии. Проведено построение графиков зависимости энергии от времени, скорости роста энергии. В результате работы были получены выражения для перемещения частиц, выражения для полной энергии в виде суммы и асимптотическое выражение, а также реализованы графики для перемещений и энергии.

This paper is devoted to the study of the dynamics of a periodic Hooke chain under the influence of a driving force and obtaining an asymptotic expression for the total energy of the system. The aim of this work is to study the dynamics of a one-dimensional Hooke chain under the influence of a periodic force, as well as an asymptotic analysis of the total energy of this system and the energy growth rate. In the course, an analytical and numerical expression was obtained for particle displacements using zero initial and periodic boundary conditions. Graphs are implemented in the Python programming language for dispersion relations, group velocity for specified parameters and in the case of varying mass ratios, displacements in the unit cell affected by the force, as well as for particles in different cells. An expression for energy in terms of a sum and an asymptotic expression for energy were obtained. The graphs of the dependence of energy on time and the rate of energy growth are plotted. As a result of the work, expressions for particle displacement, expressions for total energy in the form of a sum and an asymptotic expression were obtained, as well as graphs for displacements and energy were implemented.

• ВВЕДЕНИЕ
• ДИНАМИКА ОДНОМЕРНОЙ ЦЕПОЧКИ ГУКА С ВЫНУЖДАЮЩЕЙ СИЛОЙ
  • Постановка задачи
  • Аналитическое решение
    • Приведение к матричной форме
    • Дисперсионное соотношение
    • Групповая скорость
    • Применение Дискретного преобразования Фурье
    • Нахождение собственных частот и собственных векторов
    • Разложение по собственным модам
    • Решение независимых задач Коши
    • Обратное Дискретное преобразование Фурье
    • Графическое представление
  • Численное интегрирование уравнений движения
    • Возможные методы численного интегрирования
    • Сравнение методов
    • Реализация для искомого случая
  • Графическое представление численных результатов
    • Реализация leap-frog
    • Сравнение с аналитическим решением
    • Анализ результатов реализации графиков для обоих методов
    • Проверка для равных масс
• ПОЛНАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ
  • Аналитическое решение для энергии
    • Рассмотрение баналса энергии
    • Переход к непрерывному пределу (N )
    • Замена переменной интегрирования (p )
    • Асимптотический анализ при больших временах
    • Итоговая асимптотическая формула
  • Численное интегрирование энергии
    • Метод Leap-frog (проверка симплектичности)
    • Схема интегрирования
    • Вычисление энергии
    • Параметры
  • Графическое представление энергии
  • Скорость роста энергии
    • Граница акустической ветви
    • Границы оптической ветви
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ