Сопротивление материалов


Ш. А. Салахутдинов, С. А. Одинцова, Д. В. Шейкман






        СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Учебное пособие


















Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2022

УДК 539.3/.6
ББК 30.121
С16

        Печатается, по решению редакционноиздательского совета Уральского государственного лесотехнического университета




Рецензенты:
доктор технических наук, профессор (кафедра ТМ ФГАОУ ВО «РГППУ») В. А. Копнов;
генеральный директор ООО «Шталь-Сервис» С. И. Смирнов




     Салахутдинов, Ш. А.
С16 Сопротивление материалов : учебное пособие / Ш. А. Салахутдинов, С. А. Одинцова, Д. В. Шейкман. - Москва ; Вологда : ИнфраИнженерия, 2022. - 192 с. : ил., табл.
          ISBN978-5-9729-1075-5


          Содержатся теоретические сведения и подробное решение задач по основным темам курса сопротивления материалов, а также задачи для самостоятельного решения контрольных работ.
          Для студентов, обучающихся по направлениям: 08.03.01 «Строительство», 15.03.02 «Технологические машины и оборудование», 23.03.01 «Технология транспортных процессов», 23.03.02 «Наземные транспортнотехнологические комплексы», 23.03.03 «Эксплуатация транспортнотехнологических машин и комплексов», 35.03.01 «Лесное дело», 35.03.02 «Технология лесозаготовительных и деревообрабатывающих производств», изучающих дисциплину «Сопротивление материалов», выполняющих контрольные работы по темам курса и работы, связанные с расчетом элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.

                                                         УДК 539.3/.6 ББК30.121






ISBN 978-5-9729-1075-5

   © Салахутдинов Ш. А., Одинцова С. А., Шейкман Д. В., 2022
   © Издательство «Инфра-Инженерия», 2022
                           © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2022

ПРЕДИСЛОВИЕ


    Выполнение контрольных работ является важнейшей составной частью изучения дисциплины «Сопротивление материалов». Их цель -углубленное усвоение студентами программного материала, приобретение навыков проведения инженерных расчетов, пользования справочной литературой и выработка умения правильно оформлять техническую документацию. Контрольные работы охватывают наиболее важные темы учебной программы изучаемой дисциплины.
    Для каждой работы даются формулировка содержания задания, расчетная схема и численные данные в двух таблицах. Номер строки или столбца с номером варианта задания и числовыми данными в каждой таблице выбирается в соответствии с первой или второй цифрой двузначного шифра зачетной книжки студента. Это могут быть, например, две последние цифры ее номера. Результаты работы оформляются в виде пояснительной записки, включающей расчеты и графический материал.
    Основная цель, которую преследует это пособие - дать подробное с максимальным количеством пояснений решение основных типовых задач, причем сначала самых простых и наиболее подробно, а затем с увеличением сложности задач решение дается более схематично. Поэтому при изучении каждой темы необходимо последовательно ознакомиться с теорией и решением всех задач.

3

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

А         - площадь сечения брутто;                               
Abn       - площадь сечения болта нетто;                          
An        - площадь нетто;                                        
Апес      - необходимая площадь;                                  
Е         - модуль продольной упругости;                          
F         - сила;                                                 
G         - модуль сдвига;                                        
I*, Iy    - осевые моменты инерции относительно осей хи у;        
Ixn , Iyn - то же, сечения нетто;                                 
М, My, Mz - момент, изгибающие моменты относительно осей y-y и z-z
          соответственно;                                         
T         - крутящий момент;                                      
N         - продольная (нормальная) сила;                         
Q         - поперечная сила;                                      
Rbp       - расчетное сопротивление смятию болтовых соединений;   
Rbs       - расчетное сопротивление срезу болтов;                 
Rbt       - расчетное сопротивление болтов растяжению;            
Rs        - расчетное сопротивление стали сдвигу;                 
Ru        - расчетное сопротивление стали растяжению, сжатию,     
          изгибу по временному сопротивлению;                     
Run       - временное сопротивление стали разрыву, принимаемое    
          равным минимальному значению ob по государственным      
          стандартам и техническим условиям на сталь;             
Ry        - расчетное сопротивление стали растяжению, сжатию,     
          изгибу по пределу текучести;                            
Ryn       - предел текучести, принимаемый равным значению предела 
          текучести по государственным стандартам и техническим   
          условиям для стали;                                     
Rt        - расчетное сопротивление чугуна растяжению;            
Rc        - расчетное сопротивление чугуна сжатию;                
[o]       - допускаемое нормальное напряжение (или oadm);         
M         - допускаемое касательное напряжение (или м adm);       
St        - поперечная деформация;                                
                                     4                            

Eel  - упругая деформация;                                       
0    - относительный угол закручивания;                          
Rb   - расчетные сопротивления бетона осевому сжатию             
     для предельного состояния первой группы;                    
Rbt  - расчетные сопротивления бетона осевому растяжению         
     для предельного состояния первой группы;                    
Eb   - начальный модуль упругости бетона при сжатии и растяжении;
Ab   - площадь сжатой зоны бетона;                               
Ak   - площадь сечения каменной кладки;                          
Eo   - модуль упругости каменной кладки;                         
Ncal - расчетная несущая способность;                            
R    - расчетные сопротивления сжатию кладки;                    
Rtb  - расчетное сопротивление растяжению при изгибе кладки;     

Wx, Wy, Wi - моменты сопротивления сечения относительно осей x-x, y-y

           и z-z соответственно;                                 
b          - ширина;                                             
t          - толщина;                                            
e          - эксцентриситет приложения силы;                     
ik, iy, iz - радиусы инерции сечения относительно соответствующих
           осей;                                                 
imin       - наименьший радиус инерции сечения;                  
l          - длина, пролет;                                      
lef        - расчетная (условная) длина;                         
lw         - длина сварного шва;                                 
Yc         - коэффициент условной работы;                        
A          - гибкость ( Л = lef / imin);                         
V          - коэффициент Пуассона;                               
ox, oy     - нормальные напряжения на площадках с нормалями      
           параллельными осям x и y;                             
T, Ta, Txy - касательное напряжение;                             
Oy         - предел текучести;                                   
Out        - предел прочности при растяжении материала;          
Ouc        - предел прочности при сжатии;                        
OCr        - критическое напряжение;                             
Ф          - коэффициент продольного изгиба.                     

5

ЧАСТЬ I


ГЛАВА 1

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

   Дисциплина «Сопротивление материалов» — это введение в науку о прочности, жесткости и надежности элементов, конструкций, приборов и машин. Это фундаментальная дисциплина общеинженерной подготовки специалистов с высшим техническим образованием.
   Сопротивление материалов - это первая дисциплина, устанавливающая связь между фундаментальными научными знаниями (физикой, высшей математикой и теоретической механикой) и прикладными задачами, возникающими при проектировании машин, приборов и конструкций. Практически все специальные дисциплины подготовки инженеров по разным специальностям содержат разделы курса сопротивления материалов, так как создание работоспособной техники невозможно без анализа и оценки ее прочности, жесткости и надежности.
   Повышение эффективности и надежности машин при уменьшении материалоемкости, создание новой техники, рассчитанной на эксплуатацию в экстремальных условиях при больших нагрузках (статических и динамических, детерминированных и случайных), высоких температурах, импульсных и ударных воздействиях требуют глубоких знаний в области прочности. Без понимания физики, поведения элементов конструкций нагруженных силами, рассчитать конструкцию с достаточной прочностью, жесткостью и надежностью, невозможно [1-4].
   Прочность и надежность проектируемых конструкций зависят от учета всех особенностей реальных условий эксплуатации, так как чем точнее математическая модель объекта, тем достовернее результаты численного решения уравнений «состояния» и точнее прогнозирование прочности и надежности новой техники.
   Современная вычислительная техника позволяет решать самые сложные задачи анализа прочности без упрощения математических моделей, что резко повышает достоверность получаемых результатов и значимость курса сопротивления материалов в подготовке специалистов высокого класса. Развитие нового научного направления - механо-троники, объединяющей механику и электронику в единую систему (манипуляторы, роботы), стало возможным только благодаря появившейся возможности проводить высокоточные расчеты механических элементов механотронных систем.

6

    Сопротивление материалов - это дисциплина, которая позволяет студентам понять, что происходит внутри элементов конструкции при нагружении. В этом основное качественное отличие этой дисциплины от теоретической механики, которая рассматривает объекты как абсолютно прочные и жесткие. Поэтому считается, что при любых нагрузках они сохраняют свою форму и не разрушаются. Однако, к сожалению, это далеко не так. Но без знания теоретической механики нельзя решить ни одной задачи по сопротивлению материалов, поэтому курс теоретической механики должен обязательно предшествовать курсу сопротивления материалов. Так как традиционно в курсе сопротивления материалов излагаются в основном методы расчета элементов конструкций при статических нагрузках, то студенты должны хорошо знать основные законы статики.
    Все твердые тела в той или иной мере обладают свойствами прочности и жесткости, т. е. способны в определенных пределах воспринимать воздействие внешних сил без разрушения и существенного изменения геометрических размеров. Эти свойства предметов привлекали внимание человека еще в те далекие времена, когда он пробовал изготовить первые примитивные орудия труда и предметы хозяйственного обихода. Эти свойства волнуют специалистов и сейчас, например, при создании современных машин и гигантских инженерных сооружений.
    При этом главной задачей курса является формирование знаний для применения математического аппарата при решении прикладных задач, для осмысления полученных численных результатов, поиска и выбора наиболее конструктивных оптимальных решений. То есть данный курс является базовым для формирования инженерного мышления и подготовки кадров высшей квалификации по техническим специализациям.
    Эта дисциплина в учебных планах технических университетов играет несколько ролей. Во-первых, с ее помощью студент впервые вводится в круг расчетов на прочность и жесткость конструкций, которые получают дальнейшее развитие в специальных учебных дисциплинах на старших курсах. Во-вторых, имеет самостоятельное применение в инженерной практике, потому представленная в ней система оценок надежности вполне достаточна для решения проблемы целиком, начиная с определения всех внешних сил, действующих на конструкционный элемент, и заканчивая рекомендациями об оптимальных значениях его поперечных размеров.
    Сопротивление материалов - это азбука расчетов на прочность. Имеется много более сложных дисциплин, также изучающих прочность: теория упругости, теория пластичности, теория ползучести, теория

7

оболочек, механика разрушения и др. Если теоретическая механика рассматривает абсолютно твердые тела, то в сопротивлении материалов учитывается, что элементы конструкций под действием внешних сил изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются.
    Прочность - это способность элемента конструкции сопротивляться внешним воздействиям, не разрушаясь.
    Жесткость - это способность конструкции сохранять исходную форму в заданных (обычно весьма малых) пределах.
    Устойчивость - это способность конструкции сохранять первоначальную форму равновесия.
    Теоретическая часть курса сопротивления материалов базируется на теоретической механике и математике, а экспериментальная - на физике и материаловедении.
    Чтобы конструкция отвечала требованиям прочности, жесткости и устойчивости, т. е. была надежной в эксплуатации и экономичной, ее элементы должны иметь рациональную форму и размеры, для чего необходимо знать свойства материала, из которого конструкция будет изготовлена.
    Увеличение размеров конструкции не всегда приводит к повышению прочности, так как при этом повышается ее масса, а в случае движущихся деталей - возрастают силы инерции. При проектировании необходимо учитывать как технологические, так и экономические факторы, поскольку машины или сооружения должны быть прочными и надежными в эксплуатации ивтоже время - легкими и дешевыми.
    В результате изучения курса сопротивления материалов студенты должны знать основные понятия о прочности и деформации реальных материалов, применяемых в машиностроении, получить практические навыки в определении механических характеристик материалов и деформации нагружения элементов. Студенты должны научиться решать конкретные инженерные задачи по расчету элементов конструкций, находящихся как при статических, так и при динамических нагрузках.
    При решении задач упругого расчета сооружений исходными положениями в сопротивлении материалов являются:
    1)     предположения об идеальной упругости, изотропности и непрерывности материала, из которого состоит сооружение;
    2)     применение линейной связи между напряжениями и деформациями (закон Гука);
    3)     применение принципа независимости действия сил, согласно которому результат действия систем сил равен сумме результатов действия отдельных сил.

8

ГЛАВА 2


РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ


2.1. Напряжения и продольная деформация при растяжении и сжатии


    Растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только продольная сила. Брус с прямолинейной осью (прямой брус), работающий на растяжение или сжатие, часто называют стержнем.
    Рассмотрим невесомый, защемленный левым концом прямой брус, вдоль оси которого действуют активные силы F и 2F (рис. 1). В дальнейшем все векторные величины будем обозначать их модулями.
    Части бруса постоянного сечения, заключенные между поперечными плоскостями, в которых приложены активные или реактивные силы, будем называть участками. Изображенный на рис. 1 брус состоит из двух участков. Применив метод сечений, определим продольные силы N-1 и N₂ на участках. Рассечем брус на первом участке поперечным сечением 1-1.


Рис. 1

    Во всех точках бруса будут действовать внутренние распределенные силы, равнодействующая которых определится из условия равновесия одной из частей бруса (например, правой от сечения):
£ Z = 0; 2F - F - N1 = 0,                  (1)


откуда

N₁ = 2 F - F = F.


9

(2)

    Мы видим, что для равновесия оставленной части бруса в сечении 1-1 необходимо приложить только силу Nⱼ, направленную вдоль оси, т. е. продольную силу.
    Продольная сила есть равнодействующая внутренних нормальных сил, возникающих в поперечном сечении бруса. Нетрудно понять, что в сечении 2-2 на втором участке продольная сила будет иметь другое значение: N₂ = 2F. Таким образом, продольная сила в поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме внешних сил, расположенных по одну сторону сечения (имеется в виду, что все силы направлены вдоль оси бруса).
    Очевидно, что в пределах одного участка продольная сила будет иметь постоянное значение. Следует помнить, что, рассматривая равновесие части бруса, расположенной не справа, а слева от сечения, мы должны были ввести в уравнение равновесия реакцию защемленного конца, определенную путем рассмотрения равновесия всего бруса [2-6].
    Далее, растягивающие (направленные от сечения) продольные силы, будем считать положительными, а сжимающие (направленные к сечению) - отрицательными. Значит, если равнодействующая внешних сил, приложенных к левой части бруса, направлена влево, а приложенные к правой части - вправо, то продольная сила в этом сечении будет положительной, и наоборот.
    При изучении ряда деформаций мы будем мысленно представлять себе брусья состоящими из бесчисленного количества волокон, параллельных оси, и предполагать, что при деформации растяжения и сжатия волокна не надавливают друг на друга (это предположение называется гипотезой о ненадавливании волокон).
    Если изготовить прямой брус из резины (для большей наглядности), нанести на его поверхности сетку продольных и поперечных линий и подвергнуть брус деформации растяжения, то можно отметить следующее: J) поперечные линии останутся в плоскостях, перпендикулярных оси, а расстояния между ними увеличатся; 2) продольные линии останутся прямыми, а расстояния между ними уменьшатся.
    Из этого опыта можно сделать вывод, что при растяжении справедлива гипотеза плоских сечений, следовательно, все волокна бруса удлиняются на одну и ту же величину, т. е. фактически подтверждается гипотеза Бернулли: поперечные сечения стержня, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к его оси и после деформации.
    Все сказанное выше позволяет сделать вывод, что при растяжении и сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные


J0