Построено инвариантное описание аддитивно гомоморфной криптосистемы с открытым ключом Pascal Paillier в терминах кольца классов вычетов с доказательством основных свойств шифра и построением основных изоморфизмов. Определены основные алгебраические структуры (кольца, группы, подгруппы) задающие алгоритм шифрования. Определена важная роль особого идеала кольца классов вычетов, называемого радикалом, в построении шифров, подобных Pascal Paillier. Приведен обзор существующих гомоморфных криптосистем. Приведен обзор применений криптосистемы Pascal Paillier. Приведена программная реализация шифра и реализация методов применения шифра.