В данной работе построена конечно-элементная модель тонкостенного стержня на основе смешанного вариационного подхода. При помощи функционала Рейсснера и линейных и квадратичных функций форм получены матрицы жесткости и матрицы масс тонкостенного стержня в рамках полусдвиговой теории Сливкера. Представлен алгоритм для автоматизированного составления и решения систем уравнений равновесия и движения тонкостенного стержня. Для статических и динамических задач произведено сравнение с точным решением уравнений Эйлера, а также с результатами на основе классического метода конечных элементов. Получено аналитическое решение уравнений смешанного и классического МКЭ для задачи о собственных частотах тонкостенного стержня при произвольной разбивке на конечные элементы. Обнаружен эффект “паразитических” высоких частот в спектре тонкостенного стержня при использовании смешанного метода конечных элементов.

In the given work finite-element model of thin-walled beam is constructed based on mixed variational approach. Using Reissner functional and polynomial shape functions stiffness and mass matrices of thin-walled beam are derived within Slivker semi-shear theory. Algorithm for automatic composing and solving the governing systems of equations for static and dynamic problems of thin-walled bars is presented. Comparison to the results by classical finite element method and the exact solutions of Euler equations is carried out. The analytical solution to the equations of motion by mixed and classical FEM for eigenfrequency problem of thin-walled bar is derived. The effect of “spurious” high-frequency modes in spectrum of thin-walled bar is revealed while using mixed finite element method.