Целью данной работы являлась разработка алгоритма для решения дифференциальных уравнений в частных производных на основе такого метода, как генетическое программирование. Разработанный алгоритм должен давать решение поставленной задачи в символьном виде. Алгоритм был протестирован на четырех эллиптических уравнениях с различными правыми частями и граничными условиями. Показано, что данный метод хорошо справляется с дифференциальными уравнениями с прямоугольными границами. Построены графики сходимости для всех уравнений. Также приведены иллюстрации, поверхностей, построенных по полученным уравнениям. Они полностью совпадают с аналитическим решением. Исследована длина функций, генерируемых методом, в зависимости от уравнения. Была найдена зависимость времени работы алгоритма от длины решения: чем длиннее решение, тем дольше работает программа. Также был проведен эксперимент, для которого брались другие параметры алгоритма и результаты сравнивались. Были сделаны выводы о времени работы программ с разными параметрами и о связи средней ошибки между запусками с отличающимися параметрами. В качестве основного вывода, был высказан тезис о том, что алгоритм, разработанный в рамках данной работы, может работать с эллиптическими уравнениями с прямоугольными границами. Для других же уравнений требуется изменить учет граничных условий в алгоритме для получения лучших результатов.

The aim of this work is development of algorithm, solving partial differential equations, based on the genetic programming method. The developed algorithm should give a solution to the problem in symbolic form. The algorithm was tested on four elliptic equations with various right-hand sides and boundary conditions. It is shown that this method solves well with differential equations with rectangular boundaries. Convergence graphs for all equations are constructed. There are also illustrations of surfaces constructed according to the obtained equations. They completely coincide with the analytical solutions. The length of the functions generated by the method is studied depending on the equation. The dependence of the running time of the algorithm on the length of the solution was found: the longer the solution, the longer the program runs. An experiment was also conducted, for which other parameters of the algorithm were taken and the results were compared. Conclusions were drawn about the running time of programs with different parameters and about the relationship between the average error between runs with various parameters. As the main conclusion, was expressed that the algorithm developed in the framework of this work can give good results with elliptic equations with rectangular boundaries. For other equations, it is required to change the consideration of boundary conditions in the algorithm in order to obtain better results.

• Разработка автоматического метода решения уравнений в частных производных на основе генетического программирования
  • Введение
  • 1. Обзор методов, использующихся при решении дифференциальных уравнений
  • 2. Разработка метода символьной регрессии
  • 3. Разработка и параметры запуска программной реализации
  • 4. Применение метода на УЧП
  • Заключение
  • Список сокращений и условных обозначений
  • Список использованных источников