Тема выпускной квалификационной работы: Адаптация сеток при численном решении классических уравнений математической физики. Данная работа связана с рассмотрением метода конечных элементов решения одномерной краевой задачи математической физики, посвящена сравнению погрешностей на равномерной сетке и на адаптивной сетке и построению индикатора для анализа точности полученного решения без использования аналитического решения. Задачи, которые решались в ходе работы:1. Реализация метода конечных элементов на равномерной сетке2. Реализация метода конечных элементов на адаптивной сетке.3. Построения индикатора методом осреднения для анализа точности полученного решения. Проведенные численные эксперименты показали, что в методе конечных элементов адаптация сетки позволяет увеличивать точность решения по сравнению с равномерной сеткой с тем же количеством элементов и с другой стороны, адаптация еще позволяет сэкономить вычислительные ресурсы для достижения одной и той же точности по сравнению с равномерной сеткой. Метод конечных элементов с адаптацией сетки обычно состоит из следующих четырёх этапов: 1. Решить задачу на данной сетке. 2. Построить индикатор для оценки ошибки. 3. Маркировать элементы, которые нужно измельчать. 4. Измельчать сетку по алгоритму адаптации и получить новую сетку. 5. Если глобальная точность решения не достигнута — повторить шаг 1 и далее.

The topic of the final qualification work: Adaptation of meshes in the numerical solution of classical equations of mathematical physics. This work is devoted to the consideration of the finite element method for solving a one-dimensional boundary value problem of mathematical physics, comparing errors on a uniform mesh and on an adaptive mesh, and constructing an indicator for analyzing the behavior of the resulting solution without using an analytical solution. Tasks that were solved during the work: 1. Implementation of the finite element method on a uniform mesh. 2. Implementation of the finite element method on an adaptive mesh. 3. Constructing an indicator by averaging method to analyze the behavior of the resulting solution. Numerical experiments have shown that in the finite element method, the adaptation of the mesh allows increasing the accuracy of the solution compared to a uniform mesh with the same number of elements, and on the other hand, the adaptation also saves computational costs to achieve the same accuracy compared to a uniform mesh.The finite element method with adaptation of mesh usually consists of the following four processes: 1. Solve the problem on this mesh. 2. Build an indicator to evaluate the error. 3. Mark the elements that need to be shredded. 4. Grind the mesh according to the adaptation algorithm and get a new mesh.

• Введение
  • Актуальность
  • Задача
• Метод Галеркина для краевой задачи 2-го порядка
  • Постановка задачи
  • График функции
  • Описание метода
  • Результаты
    • Приближение функции
    • Зависимость ||uh - u||L2 от шага h
    • Зависимость ||u'h - u'||L2 от шага h
    • Распределение погрешностей значений вдоль оси x
    • Распределение погрешностей производной вдоль оси x
  • Вывод
• Метод Галеркина с адаптивной сеткой
  • Постановка задачи
    • Задача 1
    • Задача 2
    • Задача 3
  • Описание алгоритма
  • Результат
    • Распределение узлов
    • Сравнение погрешностей на равномерной сетке и на адаптивной сетке
  • Выводы
• Индикатор, построенный из метода осреднения
  • Описание метода
  • Результат
    • Суперсходящаяся аппроксимация
    • Сравнение точного значения погрешности ||u'h - u'||L2 и оценки из метода осреднения ||u'h - G(u'h)||L2
  • Вывод
• Заключение