Details

Соответствует содержанию направлений бакалаврской подготовки 01.03.02 «Прикладная математика и информатика». Рассматривается задача решения систем линейных алгебраических уравнений. Разбираются итерационные методы решения данной задачи: стационарные и нестационарные. Подробно рассматривается метод простых итераций: формулируются и доказываются теоремы о его сходимости, описываются способы приведения системы линейных уравнений к виду, удобному для итераций. Разбирается метод Якобы, метод итераций Вей дел я и метод релаксаций, как частные случаи метода простых итераций. Доказываются теоремы о сходимости данных методов. В качестве нестационарных методов решения систем линейных алгебраических уравнений приводится метод Ричардсона, градиентный метод и метод сопряженных направлений. Рассматриваются базовые методы предобугл о вливания для ускорения итерационного процесса. В пособии представлен раздел е описанием лабораторной работы: формулируется задание и возможные исследования, представлены варианты и примеры выполнения. Предназначено для студентов, изучающих дисциплину «Численные методы», а также для преподавателей и инженеров, деятельность которых связана е вопросами вычислительной математики.

The training manual corresponds to the content of the Bachelor’s degree majors 01.03.02 “Applied Mathematics and Informatics”. The authors consider the problem of solving linear systems. Iterative methods of solving this problem are analyzed: stationary and non-stationarv. The fixed point iteration method is deesribed in detail. Theorems on its convergence are formulated and proved. Methods for bringing a linear system to a form convenient for iterations are described. The Jacobi, the Gauss-Seidel and the relaxation methods are analyzed as special eases of the fixed point iteration method. Convergence theorems are formulated and proved. As non-stationarv methods the Richardson method, the gradient method, and the conjugate gradient method are described. Basie preconditioning methods for speeding up the iterative process are presented. In addition, the manual includes a section describing laboratory work. It contains the problem statement and possible investigations, variants and examples. It is intended for students studying the discipline “Numerical methods” as well as for teachers and engineers whose area of interest is related to computational mathematics and numerical methods.

• ОГЛАВЛЕНИЕ
• 1. Харастеристика итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений
• 2.Стационарные методы
• 2.1. Метод простых итераций
• 2.2. Сходимость стационарных итерационных процессов
• 3. Нестационарные методы
• 3.1. Полиномы Чебышева и их свойства
• 3.2. Метод Ричардсона
• 3.3. Градиентный метод решения СЛАУ
• 3.4. Метод сопряженных градиентов
• 4. Предобусловлиание для ускорения итерационных методов
• 4.1. Идея предобусловливания
• 4.2. Метод предобусловленных сопряженных градиентов
• 4.3.Прдобусловливание неполным разложением Холецкого
• 4.4. Построение предобусловленного метода сопряженных градиентов для системы с пятидиагональной матрицей
• 5.Критерий остановки в итерационных методах
• 6. Описание лабораторной работы
• 6.1. Постороение матрицы
• 6.2. Задание
• 6.3.Возможные варианты исследовани й
• 6.4. Пример выполненной работы
• Библиографический список
• Приложение