Работа посвящена ядерным оценкам плотности вероятности, построенным по выборкам конечного объема (малым выборкам). Основное внимание уделено получению и последующему исследованию явных формул для автоматических и неавтоматических ядерных оценок как для случая классических выборок, так и для случая зависимых выборок (реализаций случайных процессов). Исследование основано на использовании L2-подхода в котором за меру качества ядерной оценки принимается относительное интегральное среднеквадратическое отклонение. Для случая выборки, построенной по дискретным отсчётам реализации стационарного гауссовского процесса предлагается новый метод построения оптимальной автоматической оценки.

The focus of the thesis is kernel density estimators in the setting of a small-size sample. Explicit formulas for automatic and non-automatic kernel estimators are derived and studied for both independent and dependent samples. The approach is based on the L2-view, in which Relative Mean Integrated Squared Error is used as a quality metric. A new approach to obtain the optimal automatic density estimator is proposed for a sample comprised of dependent Gaussian random variables under stationarity assumption.

• Введение
• Традиционные ядерные оценки для выборок с независимыми элементами
  • Основные сведения из классической теории ядерного оценивания
    • Понятие малой выборки
  • Традиционные ядерные оценки в условиях малой выборки
    • Метод статистического моделирования
    • Представление ОИСКО в терминах характеристических функций
    • Случай выборки из нормального распределения
    • Численные результаты
• Автоматические ядерные оценки в условиях малой выборки с независимыми элементами
  • Автоматическая ядерная оценка плотности вероятности
    • Ортогональные преобразования
  • Случай нормальной выборки и ядра Гаусса
  • Численные результаты
• Классические оценки плотности вероятности для выборок с независимыми элементами
  • Метод максимального правдоподобия
    • Оценка плотности при известной дисперсии
    • Оценка плотности при известном математическом ожидании
    • Оценка плотности при двух неизвестных параметрах
  • Гистограммы
    • Численные результаты
  • Эффект малой выборки
• Ядерная оценка для выборок с зависимыми элементами
  • Исходные предположения. Понятие случайного процесса
    • Корреляционные функции
    • Модели корреляционной зависимости
    • Общее выражение ОИСКО неавтоматической оценки для зависимой выборки
  • Неавтоматическая оценка для выборки из нормального распределения
    • Случай трехдиагональной корреляционной матрицы
  • Автоматическая оценка
    • Общее выражение ОИСКО
    • Слагаемое IA
    • Слагаемое IB
    • Слагаемое IC
    • Теорема об аналитической форме ОИСКО для случая гауссовского ядра и корреляционной матрицы общего вида
  • Численные результаты и сравнения
    • Моделирование методом Монте-Карло
    • Значения ОИСКО и оптимальные параметры
    • Дополнительные исследования
• Заключение
• Литература
• Таблицы
• Дополнительные графики
• Алгоритм вычисления вспомогательных коэффициентов