В данной работе впервые найдено аналитическое решение задачи о краевой дислокации, проходящей через центр упругого шара. Актуальность проблемы связана со сравнительно малым количеством решенных трехмерных задач для линейных дефектов в конечных телах. Необходимость таких решений появляется при теоретическом описании низкоразмерных гетеро-структур с плоскими внутренними границами. Особое внимание в работе уделено сравнению напряженного состояния для дислокации в шаре и в бесконечном цилиндре того же радиуса. Для этого построены карты напряжений в различных сечениях шара и поперечном сечении цилиндра, которые показали, что основным отличием в напряженном состоянии этих систем является значительная релаксация аксиальных напряжений в шаре. Впервые найдено выражение для упругой энергии краевой дислокации в шаре. Показано, что величина средней погонной энергии меньше, чем в цилиндре на величину порядка половины энергии ядра дислокации. Найденное решение также было использовано для описания релаксации напряжений несоответствия путем зарождения прямолинейной дислокации на плоском участке межфазной границы в двух композитных системах: в янус-частице и в частице типа «ядро-оболочка» с ядром в виде соосного полушария. Показано, что в первом случае критический радиус частицы примерно на треть больше в янус-шаре, чем в янус-цилиндре. Во втором случае более выгодным механизмом релаксации оказалось исследованное ранее образование круговой призматической дислокационной петли вокруг сферической части ядра.

For the first time, an analytical solution for a straight edge dislocation threading the center of an elastic sphere is derived. The work is relevant due to the lack of analytical solutions for linear defects in finite bodies. Such solutions are of high interest for the theoretical description of low-dimensional heterostructures with planar interfaces. The substantial part of the work is devoted to the comparison of the stress-states caused by a dislocation in a sphere and in an infinite cylinder with equal radii. For that purpose, the analysis of the stress maps in different cross-sections of the sphere and cylinder is provided, which shows that the main difference between the two cases is the strong relaxation of the axial stress in the sphere. For the first time, an expression for the strain energy of an edge dislocation in a sphere is derived. The value of the mean energy per unit length of the dislocation in the sphere is less than in the cylinder approximately by a half of the core energy value. Then, the relaxation mechanism with the formation of an edge misfit dislocation at the planar part of the interface is considered in two composite systems: Janus particle and core-shell particle with the core of the hemispherical form. In the first case, the critical radius of the Janus sphere is one third higher than that of the Janus cylinder. In the second case, it is shown that the formation of a straight misfit dislocation is less favorable than the earlier studied formation of a circular prismatic dislocation loop around the spherical part of the core-shell interface.