Данная работа посвящена решению задачи Дирихле уравнения Пуассона на плоскости методом конечных элементов и уточнению решения при помощи адаптивных алгоритмов, основанных на использовании апостериорных оценок погрешности решения. В ходе выполнения работы были поставлены и решены следующие задачи: реализация метода конечных элементов для задачи Дирихле уравнения Пуассона; реализация алгоритма адаптации сетки; решение нескольких задач и нахождение локального распределения ошибок с использованием данных о точном решении задачи и апостериорных методов индикации погрешности решения; адаптация сетки на основе значений индикаторов погрешности; сравнительный анализ эффективности адаптивного и классического алгоритмов, а так же индикаторов погрешности. В ходе сравнительного анализа классического и адаптивного подходов к уточнению решения на примере нескольких задач было показано, что адаптивный подход является более эффективным, он позволяет учитывать особенности точного решения и экономить вычислительные ресурсы. Было продемонстрировано, каким образом особенности функции точного решения влияют на распределение погрешностей. Было показано, что метод усреднения градиента и неявный метод невязок позволяют достоверно оценить распределение ошибки в простых случаях.

This work is devoted to solving the Dirichlet problem for the Poisson equation in 2D by the finite element method and refining the solution using adaptive algorithms based on the use of a posteriori estimates of the error of the solution. In the course of the work, the following problems were posed and solved: implementation of the finite element method for the Poisson equation with the Dirichlet boundary condition; implementation of the mesh adaptation algorithm; solving several problems and finding a local error distribution using data on the exact solution of the problem and a posteriori methods for indicating the error of the solution; adaptation of the mesh based on the values of the error indicators; comparative analysis of the effectiveness of adaptive and classical algorithms, as well as error indicators. In the course of a comparative analysis of the classical and adaptive approaches to clarifying the solution, using the example of several tasks, it was shown that the adaptive approach is more efficient, it allows you to take into account the features of the exact solution and save computational resources. It was demonstrated how the features of the exact solution affect the error distribution. It has been shown that the gradient averaging method and the implicit residual method make it possible to estimate the error distribution in trivial cases.

• Решение уравнения Пуассона с применением адаптивных алгоритмов перестроения сеток
  • 1. Теория метода конечных элементов
  • 2. Индикаторы ошибок и адаптивные алгоритмы
  • 3. Вычислительные эксперименты
  • Заключение
  • Список использованных источников