Details

В данной работе объектами исследования являются апостериорные оценки ошибок решения обыкновенного дифференциального уравнения 2-ого порядка с краевыми условиями первого рода с помощью машинного обучения. Основная цель работы – выяснить практическую применимость данных апостериорных оценок ошибки. Решаемые задачи в ходе исследования: − Описание метода Deep Ritz. − Реализация и математическое объяснения апостериорных оценок ошибки решения дифференциальных уравнений с помощью метода Deep Ritz. − Проведение серии экспериментов для сравнения реальной ошибки с апостериорной оценкой ошибки решения дифференциального уравнения с помощью метода Deep Ritz с различными параметрами нейронной сети. − Проведения анализа точности полученных апостериорных оценок ошибки решения дифференциальных уравнений. По проведённому анализу результатов экспериментов сделан вывод для каких уравнений данные апостериорные оценки ошибок решения дифференциальных уравнений применимы, а также выяснена связь точности оценки в зависимости от параметров нейронной сети.

This work investigates a posteriori error estimates for the solution of a second-order ordinary differential equation with first-kind boundary conditions using machine learning. The main goal of the work is to determine the practical applicability of these a posteriori error estimates. The research addresses the following tasks: − Description of the Deep Ritz method. − Implementation and mathematical explanation of a posteriori error estimates for solving differential equations using the Deep Ritz method. − Conducting a series of experiments to compare the actual error with the a posteriori error estimate for the solution of the differential equation using the Deep Ritz method with various neural network parameters. − Analyzing the accuracy of the obtained a posteriori error estimates for solving differential equations. Based on the analysis of the conducted experiments, a conclusion is drawn regarding which equations these a posteriori error estimates for solving differential equations are applicable, and the relationship between the accuracy of the estimate and the parameters of the neural network is clarified.