Details

Тема выпускной квалификационной работы: "Апостериорные оценки ошибок нейросетевых методов решения двухточечных краевых задач" Целью данной выпускной квалификационной работы является исследование метода глубокой коллокации (Deep Collocation) для численного решения двухточечных краевых задач второго порядка и анализ точности полученного приближённого решения на основе апостериорных оценок — мажоранты и относительной ошибки производной. Метод Deep Collocation представляет собой современный подход к решению дифференциальных уравнений с помощью нейронных сетей и не требует явной дискретизации области, что делает его особенно перспективным в задачах с разрывными данными или сложной геометрией. Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи: - Изучить основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и краевых задач, а также базовые понятия машинного обучения и глубоких нейронных сетей. - Познакомиться с методом глубокой коллокации (Deep Collocation): рассмотреть его математическую постановку, способ параметризации решения, выбор целевого функционала потерь и алгоритмы оптимизации параметров сети. - Реализовать программный код, позволяющий численно решать двухточечную краевую задачу с использованием указанного метода. - Выполнить вычислительные эксперименты на основе модельных примеров, представляющих интерес для проверки точности метода. - Провести анализ качества полученного решения, используя метрики: • относительная ошибка производной; • мажоранта — верхняя оценка энергетической нормы ошибки. Таким образом, работа направлена на изучение эффективности одного из современных подходов к численному решению дифференциальных уравнений — метода Deep Collocation — и анализ его поведения на тестовых примерах. Особое внимание уделяется апостериорной оценке ошибки, что позволяет контролировать качество решения без знания эталонного (аналитического) результата.

This work is dedicated to the study of the Deep Collocation method for the numerical solution of second-order two-point boundary value problems and the analysis of the accuracy of the obtained approximate solution based on a posteriori error estimates — majorant and relative error of the derivative. The Deep Collocation method represents a modern approach to solving differential equations using deep neural networks and does not require explicit discretization of the domain, making it especially promising for problems with discontinuous data or complex geometries. To achieve the stated goal, the following tasks were formulated: - Study the fundamentals of ordinary differential equations and boundary value problems, as well as basic concepts of machine learning and deep neural networks. - Investigate the Deep Collocation method: consider its mathematical formulation, solution parametrization, loss functional design, and optimization algorithms used for training the network. - Implement a software module that allows numerically solving a twopoint boundary value problem using the Deep Collocation approach. - Conduct computational experiments based on model examples relevant for testing the method’s accuracy. - Analyze the quality of the obtained solution using the following metrics: - relative error of the derivative; - majorant — an upper bound of the energy norm of the error. Thus, the paper aims to explore the effectiveness of one of the modern approaches to the numerical solution of differential equations — the Deep Collocation method — and analyze its behavior on test examples. Particular attention is paid to a posteriori error estimation, which enables control over the solution quality without relying on a reference (analytical) result.

• Введение и обзор литературы
  • Введение
  • Нейронные сети: общие понятия
  • Обзор литературы
• Постановка задачи и методы ее решения
  • Постановка задачи
• Подходы к решению
  • Методы решения
  • Сравнение методов
• Программная реализация
  • Алгоритм работы программы и анализ результатов
    • Общая схема работы программы
  • Оптимизатор Adam
  • Функция активации
• Численные эксперименты
  • Параметры нейронной сети
  • Пример 1: Уравнение с гладким f(x)
  • Пример 2: Уравнение с разрывной f(x)
  • Пример 3: Уравнение с квадратичным решением
  • Анализ результатов
• Заключение и выводы
• Список литературы
• Список литературы
• Приложения
  • Исходный код