Details

Данная работа посвящена исследованию и моделированию бризеров в одномерной цепочке и двумерной решетке. А также оптимизации начальных условий с помощью численных алгоритмов. Задачи, которые решались в ходе исследования: 1. Изучение литературы, посвященной локализованным колебаниям в ангармонических решетках. Исследовать имеющиеся работы на данную тематику. 2. Построение по литературным данным аналитического приближенного бризерного решения для изучаемой цепочки, которое будет использоваться в качестве начального приближения для работы оптимизационных алгоритмов. 3. Изучение численных методов оптимизации для поиска оптимальных начальных условий, соответствующих бризерному профилю, то есть обеспечивающих максимальное значение параметра локализации. 4. Реализация численных методов для нахождения бризерных профилей. 5. Нахождения профилей дискретных бризеров с помощью оптимизационных алгоритмов. В качестве объекта исследования использовалась моноатомная цепочка, в которой взаимодействуют ближайшие соседи посредством потенциала Ферми-Паста-Улама- 𝛽 (𝛽 − 𝐹𝑃𝑈) с периодическими граничными условиями. Начальные условия задавались в виде возмущений, локализованных в ограниченной области цепочки, где индексы узлов отличались от центрального не более чем на 2. Для оценки степени локализации применялся специальный параметр, зависящий от распределения энергии по узлам цепочки. На основе численных экспериментов были применены различные методы оптимизации, включая градиентный спуск, метод роя частиц и генетический алгоритм. В результате были построены начальные профили возмущений, обеспечивающие высокую степень локализации. Полученные результаты свидетельствуют об эффективности предложенного подхода.

This work is devoted to the study and modeling of breathers in a one-dimensional chain and a two-dimensional lattice, as well as to the optimization of initial conditions using numerical algorithms. Tasks addressed during the study: 1. Review of literature on localized oscillations in anharmonic lattices. An analysis of existing works on this topic. 2. Construction, based on literature data, of an analytical approximate breather solution for the chain considered, to be used as an initial guess for the optimization algorithms. 3. Investigation of numerical optimization methods for finding optimal initial conditions corresponding to a breather profile, i.e., ensuring a maximal value of the localization parameter. 4. Implementation of numerical methods for determining breather profiles. 5. Determination of discrete breather profiles using optimization algorithms. The object of study was a monoatomic chain in which nearest neighbors interact via the Fermi–Pasta–Ulam–β (β-FPU) potential with periodic boundary conditions. Initial conditions were specified as perturbations localized in a limited region of the chain, where node indices differed from the central one by no more than 2. To assess the degree of localization, a localization parameter depending on the energy distribution across the chain nodes was applied. Numerical experiments employ gradient descent, particle swarm optimization, and a genetic algorithm constructed initial perturbation profiles ensuring high localization, demonstrating the approachs effectiveness.