Детальная информация

Данная работа посвящена исследованию нейросетевых методов решения двухточечной краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Основная цель работы – разработка и анализ эффективности подхода, основанного на методе Deep Mixed в сочетании с апостериорными оценками погрешности, что позволяет контролировать точность получаемого решения.

This work is devoted to the study of neural network methods for solving a two-point boundary value problem for second-order ordinary differential equations. The main objective of the work is the development and analysis of the efficiency of an approach based on the Deep Mixed method combined with a posteriori error estimates, which allows for controlling the accuracy of the obtained solution.

• Введение и обзор литературы
• Модели нейронов и архитектура нейронных сетей
  • Биологическая модель нейрона
  • Математическая модель нейрона
  • Функция активации
  • Глубокое обучение
  • Алгоритм оптимизации Адам
  • Реализация с использованием TensorFlow
  • Архитектура нейронной сети
    • Функция активации Tanh
    • Особенности архитектуры для краевых задач
• Постановка задачи
• Методы решения
  • Общие принципы нейросетевых методов
  • Алгоритм обучения
  • Метод Deep Collocation
  • Метод Deep Ritz
  • Метод Deep Galerkin
  • Метод Deep Mixed
  • Апостериорные оценки ошибки
• Численные эксперименты
  • Параметры нейронной сети
  • Пример 1: Уравнение с гладким решением
    • Результаты для 1000 итераций
    • Результаты для 5000 итераций
  • Пример 2: Уравнение с квадратичным решением
    • Результаты для 1000 итераций
    • Результаты для 5000 итераций
  • Пример 3: Уравнение с кусочно-постоянной правой частью
    • Результаты для 1000 итераций
    • Результаты для 5000 итераций
  • Эксперименты с изменением числа слоёв и нейронов
    • Уравнение с гладким решением
    • Результаты для 6 слоёв × 60 нейронов (5000 итераций)
    • Результаты для 8 слоёв × 100 нейронов (5000 итераций)
  • Уравнение с квадратичным решением
    • Результаты для 6 слоёв × 60 нейронов (5000 итераций)
    • Результаты для 8 слоёв × 100 нейронов (5000 итераций)
  • Уравнение с кусочно-постоянной правой частью
    • Результаты для 6 слоёв × 60 нейронов (5000 итераций)
    • Результаты для 8 слоёв × 100 нейронов (5000 итераций)
  • Анализ результатов
    • Пример 1: Уравнение с гладким решением
    • Пример 2: Уравнение с квадратичным решением
    • Пример 3: Уравнение с кусочно-постоянной правой частью
  • Общий анализ результатов
    • Сравнительная характеристика эффективности
    • Анализ динамики обучения
    • Точность воспроизведения производных
    • Влияние архитектуры нейронной сети
• Заключение и выводы
• Список используемой литературы