Details

В работе рассматривается задача о движении трехзвенного математического маятника с идентичными параметрами звеньев и концевых грузов, который испытывает действие вязкого трения во всех своих шарнирах с одинаковыми диссипативными коэффициентами. Изучается линейная консервативная модель колебаний системы и определяются частоты и формы его малых колебаний. Строится линейная модель движения трехзвенного маятника при наличии шарнирного вязкого трения и выводится отвечающее ей характеристическое уравнение шестой степени в безразмерной форме, которое содержит один безразмерный диссипативный параметр. Исследуются случаи малой и большой диссипации, для которых при помощи асимптотических методов получены приближенные формулы для всех корней характеристического уравнения. Отдельно изучаются другие важные варианты: случай кратных корней, случай совпадения по модулю мнимых частей в двух парах комплексно-сопряженных корней и случай совпадения модулей вещественных частей двух комплексно- сопряженных корней и одного вещественного корня, и выявляются отвечающие им значения диссипативного параметра. На базе этих значений и при помощи численных процедур находятся зависимости всех корней характеристического уравнения от этого параметра при любых его значениях и строится корневой годограф, а также исследуется поведение модулей вещественных и мнимых частей этих корней с ростом значения данного параметра. Решается задача оптимизации демпфирования колебаний трехзвенного маятника по критерию максимизации степени устойчивости. В заключение устанавливаются все ключевые величины, которые характеризуют движение трехзвенного маятника по диссипативным формам колебаний, а их зависимости от диссипативного параметра для каждой из форм приведены в удобном графическом виде.

The paper considers the problem of the motion of a three-link mathematical pendulum with identical parameters of links and end loads, in the joints of which viscous friction acts with the same dissipative coefficients. A linear conservative model of system oscillations is studied and the frequencies and modes of its small oscillations are determined. A linear model of the motion of a three-link pendulum in the presence of joint viscous friction is constructed and the corresponding characteristic equation of the sixth degree in dimensionless form is derived, which contains one dimensionless dissipative parameter. Cases of small and large dissipation are investigated, for which approximate formulas for all roots of the characteristic equation are obtained using asymptotic methods. Other important variants are studied separately: the case of multiple roots, the case of coincidence in absolute value of imaginary parts in two pairs of complex conjugate roots, and the case of coincidence of absolute values of real parts of two complex conjugate roots and one real root, and the corresponding values of the dissipative parameter are identified. Based on these values and using numerical procedures, the dependencies of all roots of the characteristic equation on this parameter are found for any of its values and a root hodograph is constructed, and the behavior of the moduli of the real and imaginary parts of these roots is also studied with an increase in the value of this parameter. The problem of optimizing the damping of oscillations of a three-link pendulum is solved according to the criterion of maximizing the degree of stability. In conclusion, all key quantities that characterize the motion of a three-link pendulum according to dissipative oscillation modes are established, and their dependencies on the dissipative parameter for each mode are presented in a convenient graphical form.