Details

В данной работе проведено аналитическое и численное исследование псевдопараболического уравнения типа Соболева—Гальперна, обобщающего классическое уравнение теплопроводности на случай сред с пространственной нелокальностью. Из системы уравнений, включающей закон сохранения энергии и обобщённый закон Фурье с параметром нелокальности α, выведено псевдо-параболическое уравнение для температуры. С помощью последовательного применения преобразований Фурье и Лапласа получено явное выражение для преобразования Фурье фундаментального решения. Установлено, что при |ξ| → ∞ FΦ(ξ, t) → e−βt/α ̸= 0, что принципиально отличает псевдо-параболическую модель от классической теплопроводности. Показано, что фундаментальное решение распадается на сингулярную компоненту e−βt/αδ(x) и регулярную часть, убывающую как 1/|ξ|2 в частотной области. Получено асимптотическое разложение для больших |ξ|. Рассмотрена нефизичная постановка, в которой возникает дополнительный множитель 1/(1+α|ξ|2), обеспечивающий регуляризацию решения. Проведены численные эксперименты в MATLAB для одномерного и трёхмерного случаев с параметрами β = 1, α = 0.5, σ = 0.2. Исследована эволюция решения в физическом пространстве, радиальные профили в частотной и пространственной областях, а также регулярная часть и асимптотические разложения. Результаты численных экспериментов подтверждают аналитические выводы и демонстрируют ключевые особенности псевдопараболической модели теплопроводности.

This work presents an analytical and numerical investigation of the pseudo-parabolic equation of Sobolev–Galpern type, which generalizes the classical heat conduction equation to media with spatial nonlocality. From a system of equations including the energy conservation law and a generalized Fourier law with a nonlocality parameter α, the pseudo-parabolic equation for temperature is derived. By successive application of the Fourier and Laplace transforms, an explicit expression for the Fourier transform of the fundamental solution is obtained. It is established that as |ξ| → ∞, FΦ(ξ, t) → e−βt/α ̸= 0, which fundamentally distinguishes the pseudo-parabolic model from classical heat conduction. It is shown that the fundamental solution splits into a singular component e−βt/αδ(x) and a regular part decaying as 1/|ξ|2 in the frequency domain. An asymptotic expansion for large |ξ| is derived. The non-physical formulation is considered, in which an additional factor 1/(1 + α|ξ|2) appears, providing regularization of the solution. Numerical experiments in MATLAB are carried out for the one-dimensional and three-dimensional cases with parameters β = 1, α = 0.5, σ = 0.2. The evolution of the solution in physical space, radial profiles in the frequency and spatial domains, as well as the regular part and asymptotic expansions are investigated. The results of numerical experiments confirm the analytical conclusions and demonstrate the key features of the pseudo-parabolic model of heat conduction.

• Введение
• Многомерная постановка задачи
  • Исходная система уравнений
  • Вывод уравнения для температуры
  • Применение преобразования Фурье
  • Применение преобразования Лапласа
  • Фундаментальное решение
  • Представление решения неоднородной задачи
    • Интерпретация фундаментальных решений
  • Анализ свойств фундаментального решения
    • Предел при ||
    • Структура фундаментального решения
    • Асимптотическое разложение при ||
  • Нефизичная постановка
  • Сравнение физичной и нефизичной постановок
  • Выводы по главе 1
• Одномерный случай: аналитическое решение и численное исследование
  • Постановка одномерной задачи
    • Регуляризация начального условия
  • Фундаментальное решение
  • Асимптотическое поведение
  • Нефизичная постановка
  • Регулярная часть
  • Фундаментальное решение в физическом пространстве
  • Сравнение с уравнением теплопроводности
  • Сравнение трёх моделей в одномерном случае
  • Основные выводы по одномерному случаю
• Трехмерный случай: аналитическое решение и численное исследование
  • Постановка трехмерной задачи
  • Фундаментальное решение в 3D
  • Численная реализация в MATLAB
  • Сравнение физической и математической постановок
  • Радиальное поведение в Фурье-области
  • Радиальное поведение в физическом пространстве
  • Регулярная часть в 3D
  • Асимптотическое разложение в 3D
  • Сравнение с классической моделью
  • Сравнение одномерного и трёхмерного случаев
• Заключение
  • Теоретические результаты
  • Результаты численных экспериментов
    • Одномерный случай
    • Трёхмерный случай
  • Сравнение одномерного и трёхмерного случаев
  • Основные выводы
  • Перспективы дальнейших исследований