Details

Объект исследования — численные методы решения задачи Дирихле для двумерного уравнения Пуассона. Цель работы — измерить точность и время нейронного оператора DeepONet относительно метода конечных элементов (МКЭ) и определить условия, при которых каждый подход предпочтителен. Методология. Оба метода применены к задаче в единичном квадрате при равном разрешении сетки от 4×4 до 32×32. DeepONet обучен на 10 000 правых частях, проверка проведена на 1000 случайных правых частях из того же распределения. Ошибки измерены в норме L² и энергетической полунорме H¹ на единой эталонной сетке, время — по одному применению. Результаты. На грубых сетках точность сопоставима, а с измельчением сетки МКЭ точнее — в L² до 9,2 раза при 32×32. Вне обучающего распределения МКЭ сохраняет точность, тогда как ошибка DeepONet остаётся большой. DeepONet быстрее на сетке 32×32 (в 1,7 раза) и применим без явного вида уравнения. Область применения — выбор метода в задачах с повторным решением уравнения Пуассона. Выводы. МКЭ точнее при измельчении сетки и устойчивее вне обучающей выборки. Преимущества DeepONet — скорость на подробной сетке и обучение по данным. Информационные технологии: Python, библиотеки NumPy, SciPy и PyTorch. Обучение выполнено на графическом процессоре (GPU, Google Colab T4), генерация данных, расчёты МКЭ и измерения времени — на центральном процессоре (CPU).

The object of study is the set of numerical methods for the Dirichlet problem for the two-dimensional Poisson equation. The goal is to measure the accuracy and time of the DeepONet neural operator relative to the finite element method (FEM) and to identify the conditions under which each approach is preferable. Methodology. Both methods were applied to the problem in the unit square at equal mesh resolution from 4×4 to 32×32. DeepONet was trained on 10 000 right-hand sides and tested on 1000 held-out right-hand sides drawn from the same distribution. Errors were measured in the L² norm and the H¹ energy seminorm on a single reference mesh, and time per single application. Results. On coarse meshes the accuracy is comparable, while under refinement FEM is the more accurate — in L² by up to 9.2 times at 32×32. Outside the training distribution FEM retains its accuracy, while the DeepONet error remains large. DeepONet is faster on the 32×32 mesh (by a factor of 1.7) and applies without the explicit form of the equation. The area of application is method selection in problems with repeated solution of the Poisson equation. Conclusions. FEM is the more accurate under mesh refinement and the more robust outside the training set. The advantages of DeepONet are its speed on the fine mesh and data-driven training. Information technologies: Python, the NumPy, SciPy and PyTorch libraries. Training was performed on a graphics processing unit (GPU, Google Colab T4), while data generation, the FEM solver and timing measurements were performed on a central processing unit (CPU).