Details

В работе рассматривается применение метода Deep Ritz к решению одномерных краевых задач и построение апостериорных оценок погрешности полученного нейросетевого приближения. Целью работы является реализация метода Deep Ritz для краевых задач второго порядка и исследование функциональной мажоранты как инструмента контроля ошибки приближённого решения. В работе приведена вариационная постановка краевой задачи, рассмотрен энергетический функционал и описан переход от классического метода Ритца к нейросетевой аппроксимации. Для учёта граничных условий используется специальный множитель, обращающийся в нуль на границе области. Производные нейросетевого решения вычисляются средствами автоматического дифференцирования. Для апостериорного контроля ошибки реализована функциональная мажоранта, основанная на восстановлении потока. Вычислительные эксперименты проведены для задач с гладким решением, полиномиальным решением, разрывной правой частью, сильно осциллирующим решением и пограничным слоем. Полученные результаты показывают, что для гладких задач метод Deep Ritz позволяет получать достаточно точные приближения, а функциональная мажоранта даёт корректную верхнюю оценку энергетической ошибки. Для задач с осцилляциями и резкими изменениями решения точность аппроксимации и эффективность оценки ухудшаются, что указывает на необходимость более тщательного выбора архитектуры сети, параметров обучения и способа восстановления потока.

The work considers the application of the Deep Ritz method to one-dimensional boundary value problems and the construction of a posteriori error estimates for the obtained neural network approximation. The aim of the work is to implement the Deep Ritz method for second-order boundary value problems and to investigate the functional majorant as a tool for controlling the error of the approximate solution. The variational formulation of the boundary value problem is presented, the energy functional is considered, and the transition from the classical Ritz method to a neural network approximation is described. Homogeneous boundary conditions are imposed by using a special multiplier that vanishes on the boundary of the domain. Derivatives of the neural network approximation are computed by automatic differentiation. For a posteriori error control, a functional majorant based on flux reconstruction is implemented. Numerical experiments are carried out for problems with a smooth solution, a polynomial solution, a discontinuous right-hand side, a strongly oscillatory solution, and a boundary layer. The obtained results show that for smooth problems the Deep Ritz method provides sufficiently accurate approximations, while the functional majorant gives a valid upper bound for the energy error. For problems with oscillations and sharp changes in the solution, the approximation accuracy and the efficiency of the estimate decrease, which indicates the need for a more careful choice of the neural network architecture, training parameters, and flux reconstruction procedure.

• Апостериорные оценки ошибок метода Deep Ritz решения краевых задач
  • Введение
  • 1. Вариационная постановка краевой задачи и метод Ритца
  • 2. Метод Deep Ritz и апостериорная оценка погрешности
  • 3. Программная реализация
  • 4. Вычислительные эксперименты
  • Заключение
  • Список использованных источников