Details

Выпускная квалификационная работа посвящена исследованию и разработке методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка с использованием методов машинного обучения и построению постериорных оценок ошибки полученных решений. В первой главе рассмотрены теоретические основы постановки линейных эллиптических краевых задач второго порядка, приведены сильная и слабая формулировки задачи, а также изложены основные подходы к построению постериорных оценок ошибки. Проведён анализ существующих нейросетевых методов решения дифференциальных уравнений, включая Physics-Informed Neural Networks, Deep Ritz Method и Deep Galerkin Method. Во второй главе разработана методика решения краевой задачи с использованием вариационного нейросетевого подхода Deep Ritz. Обоснован выбор метода, сформулирована математическая постановка задачи, предложена вычислимая постериорная оценка ошибки, а также описан алгоритм решения и общая схема вычислений. В третьей главе представлена программная реализация метода на языке Python с использованием библиотеки PyTorch. Проведён вычислительный эксперимент на тестовой краевой задаче с известным аналитическим решением. Выполнен анализ точности нейросетевого решения и исследована согласованность постериорной оценки ошибки с истинной погрешностью. В результате работы показано, что нейросетевой вариационный метод позволяет эффективно решать краевые задачи второго порядка без использования расчётной сетки, а введённая постериорная оценка ошибки является информативным и независимым критерием качества решения. Полученные результаты подтверждают возможность применения методов машинного обучения в задачах вычислительной математики с обеспечением строгого контроля точности.

This bachelor’s (master’s) thesis is devoted to the study and development of methods for solving boundary value problems for second-order differential equations using machine learning techniques and to the construction of a posteriori error estimates for the obtained solutions. The first chapter presents the theoretical foundations of linear elliptic boundary value problems of second order. Strong and weak formulations of the problem are considered, and the main approaches to constructing a posteriori error estimates are discussed. An analysis of modern neural network-based methods for solving differential equations, including Physics-Informed Neural Networks, the Deep Ritz Method, and the Deep Galerkin Method, is provided. The second chapter is devoted to the development of a methodology for solving a boundary value problem using a variational neural network approach based on the Deep Ritz Method. The choice of the method is justified, the mathematical formulation of the problem is presented, a computable a posteriori error indicator is introduced, and the algorithm for solving the problem is described. The third chapter presents the software implementation of the proposed method using the Python programming language and the PyTorch library. A numerical experiment is carried out for a test boundary value problem with a known analytical solution. The accuracy of the neural network solution is analyzed, and the consistency between the proposed a posteriori error estimate and the true solution error is investigated. The results of the study demonstrate that the variational neural network approach provides an efficient grid-free solution of boundary value problems. The proposed a posteriori error estimate serves as a reliable and independent indicator of solution quality, enabling verification of neural network approximations without knowledge of the exact solution. The obtained results confirm the applicability of machine learning methods to problems of computational mathematics with rigorous control of solution accuracy.