Details

В работе рассматривается задача повышения вычислительной эффективности при реализации расчета функциональных апостериорных оценок погрешности для задач линейной теории упругости. В качестве математической модели используется задача линейной теории упругости (плоская деформация), а для аппроксимации тензора напряжений при оценке погрешности применяется конечный элемент Равьяра-Тома первого порядка. Основное внимание уделяется системам уравнений, возникающим при минимизации мажоранты. В работе проводится анализ нескольких предобуславливателей (Якоби, SSOR, ILU, IC), по результатам которого для последующего исследования выбран ILUTP, основанный на неполном LU-разложении с пороговым отбрасыванием и выбором ведущего элемента. При решении получающихся систем сравниваются обычный метод GMRES и GMRES с правым ILUTP-предобуславливанием. Критерием сравнения является число итераций, необходимых для достижения заданной относительной невязки. Также исследуется влияние количества пересчётов параметров мажоранты на индекс эффективности: сравниваются результаты при однократном решении системы и при цикле из пяти итераций. Вычисления проводятся на нескольких областях: квадрате ($\Omega_1$), L-образной области ($\Omega_2$) и более сложной многоугольной области ($\Omega_3$). Для первых двух примеров используется равномерное измельчение сетки, а для третьего --- адаптивное перестроение по локальному индикатору мажоранты. Полученные результаты показывают, что применение ILUTP-предобуславливания позволяет сократить число итераций GMRES при сохранении схожих значений индекса эффективности. Также показано, что однократное вычисление мажоранты может рассматриваться как экономный вариант в случаях, когда допустима менее точная оценка.

This work deals with the computational aspects of functional a posteriori error estimates for problems of linear elasticity. The model problem is considered in the plane strain setting. To compute the error majorant, the stress tensor is approximated using the first-order Raviart-Thomas finite element. The main difficulty considered in the work is related to the linear systems that appear when the majorant is minimized. As a preliminary step, several preconditioners are tested: Jacobi, SSOR, ILU, and IC. Based on these tests, ILUTP is chosen for the main computations. This preconditioner is based on incomplete LU factorization with threshold dropping and pivoting. The resulting systems are solved in two ways: by the standard GMRES method and by GMRES with right ILUTP preconditioning. The methods are compared by the number of iterations needed to reach a prescribed relative residual. The work also studies how the number of majorant parameter updates affects the efficiency index. For this purpose, the results obtained after a single solution of the system are compared with the results after a five-iteration optimization cycle. Numerical experiments are performed on three domains: a square domain $\Omega_1$, an L-shaped domain $\Omega_2$, and a more complex polygonal domain $\Omega_3$. In the first two examples, uniform mesh refinement is used. In the third example, the mesh is refined adaptively using a local indicator based on the majorant. The results show that ILUTP preconditioning can reduce the number of GMRES iterations while keeping the efficiency index at a comparable level. It is also shown that, in some cases, computing the majorant after only one system solve may be used as a cheaper alternative when a slightly less accurate error estimate is acceptable.

• Введение
• Постановка задачи и функциональная мажоранта
  • Плоская задача линейной теории упругости
  • Энергетическая норма и индекс эффективности
  • Функциональная мажоранта погрешности
  • Выводы по разделу 1
• Аппроксимация свободного тензора двумя элементами Равьяра–Тома первого порядка
  • Представление тензора через два векторных поля
  • Система для коэффициентов тензора
  • Роль пересчёта параметров оценки
  • Выводы по разделу 2
• Методы решения линейных систем и предобуславливание
  • Прямой метод и переход к итерационным методам
  • Метод GMRES
  • Предварительный выбор предобуславливателя
  • Правое ILUTP-предобуславливание
  • Выводы по разделу 3
• Вычислительные эксперименты и анализ результатов
  • Общая схема вычислений
  • Описание расчётных областей
  • Сравнение индекса эффективности
  • Сравнение числа итераций GMRES
  • Выводы по разделу 4
• Заключение
• Список использованных источников