Details

Объектом исследования являются задачи оптимизации с ограничениями и численные методы их решения. В качестве модельной задачи рассматривается задача Пуассона с препятствием. Цель работы – изучить численные методы решения, в частности рассмотреть применение метода расширенного лагранжиана к задаче Пуассона с препятствием и сравнить его с методом штрафа и методом Удзавы. В работе описана связь задачи минимизации функционала энергии на выпуклом множестве с вариационным неравенством, сформулирована задача Дирихле для уравнения Пуассона с препятствием и выполнен переход к дискретной задаче. В вычислительной реализации используется метод конечных разностей на равномерной прямоугольной сетке. Для дискретной задачи записана система условий Куна–Таккера, и введены невязки, используемые для контроля численного решения. Для метода штрафа, метода Удзавы и метода расширенного лагранжиана приведены алгоритмические схемы, параметры и критерии остановки. Программная реализация выполнена на языке Python с использованием библиотек NumPy, SciPy, pandas и Matplotlib. Проведены вычислительные эксперименты, в которых методы сравниваются по невязке условий Куна–Таккера, нарушению ограничения, числу итераций, времени счета и ошибкам относительно известных аналитических решений тестовых задач. В проведенных экспериментах метод расширенного лагранжиана достиг невязки условий Куна–Таккера, сопоставимой с методом Удзавы, при меньшем числе внешних итераций. Метод штрафа быстро решал регуляризованную задачу, однако при конечном параметре штрафа сохранялось отличие от исходной задачи с ограничением.

The object of the study is constrained optimization problems and numerical methods for their solution. The Poisson obstacle problem is considered as a model problem. The aim of the thesis is to study numerical methods for solving such problems, in particular to consider the application of the augmented Lagrangian method to the Poisson obstacle problem and to compare it with the penalty method and the Uzawa method. The thesis describes the relation between the minimization of an energy functional on a convex set and a variational inequality, formulates the Dirichlet problem for the Poisson equation with an obstacle, and constructs the corresponding discrete problem. The numerical implementation uses the finite difference method on a uniform rectangular grid. For the discrete problem, the system of Kuhn–Tucker conditions is written down, and residuals used to monitor the numerical solution are introduced. Algorithmic schemes, parameters, and stopping criteria are given for the penalty method, the Uzawa method, and the augmented Lagrangian method. The software implementation is written in Python using the NumPy, SciPy, pandas, and Matplotlib libraries. Numerical experiments are carried out in which the methods are compared by the residual of the Kuhn–Tucker conditions, constraint violation, number of iterations, computation time, and errors with respect to known analytical solutions of test problems. In the conducted experiments, the augmented Lagrangian method achieved a residual of the Kuhn–Tucker conditions comparable to that of the Uzawa method while requiring fewer outer iterations. The penalty method quickly solved the regularized problem, however, for a finite penalty parameter, a difference from the original constrained problem remained.

• Введение
• Вариационные неравенства и задачи минимизации на выпуклых множествах
  • Минимизация на выпуклом множестве
  • Переход к вариационному неравенству
• Модельная задача Пуассона с препятствием
  • Задача Дирихле без ограничения
  • Ограничение типа препятствия
  • Реакция препятствия и сильная форма
  • Область контакта и свободная область
• Переход к дискретной задаче
  • Сеточная аппроксимация
  • Дискретная система условий КТ
  • Невязки для контроля решения
• Численные методы решения задачи с препятствием
  • Метод штрафа
  • Метод Удзавы
  • Метод расширенного лагранжиана
  • Выбор параметров и критерии остановки
• Вычислительный эксперимент и сравнение методов
  • Методика вычислительного эксперимента
  • Тестовые задачи с известным аналитическим решением
    • Первая тестовая задача
    • Вторая тестовая задача
    • Третья тестовая задача
  • Основное сравнение методов на сетке m=128
  • Влияние уточнения сетки
  • Влияние параметра штрафа
  • Дополнительная диагностика
  • Выводы по вычислительным экспериментам
• Заключение
• Список использованных источников