Details

Объект исследования: двухточечные краевые задачи второго порядка для обыкновенных дифференциальных уравнений в дивергентной форме с одно родными условиями Дирихле. Цель работы: разработка и численная реализация подхода к решению краевой задачи на основе архитектуры DeepONet и вариационного принципа Ритца, а также исследование точности решения посредством апостериорных оценок в виде мажоранты. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи: введение; постановка математической задачи; обзор алгоритма машинного обучения; обзор методов оценки ошибки; программная реализация; численные эксперименты; выводы; заключение. Методология базируется на вариационном исчислении и функциональном анализе. Решение параметризуется нейронной сетью, граничные условия встраиваются аналитически. Обучение проводится минимизацией энергетического функционала. Верификация осуществляется посредством вычисляемых мажорант. Создан программный комплекс, объединяющий DeepONet и Deep Ritz. Проведены эксперименты на задачах с гладкими и разрывными коэффициентами, а также на семействах правых частей. Показано, что вариационная постановка обеспечивает устойчивость обучения. Алгоритм вычисления мажорант предоставляет гарантированную верхнюю границу погрешности. Область применения: верификация нейросетевых моделей в задачах механики и инженерного проектирования, где требуется строгий контроль достоверности. Выводы: разработанный подход демонстрирует высокую эффективность, а функциональные апостериорные оценки являются надежным инструментом верификации, не зависящим от метода построения приближения. Информационные технологии: язык программирования Python, библиотека глубокого обучения PyTorch.

Object of research: second-order two-point boundary value problems for ordinary differential equations in divergence form with homogeneous Dirichlet boundary conditions. The aim of the work: development and numerical implementation of an approach to solving the boundary value problem based on the DeepONet architecture and the Deep Ritz variational principle, as well as investigation of the solution accuracy using a posteriori error estimates in the form of a majorant. To achieve this aim, the following tasks are solved in the work: introduction; formulation of the mathematical problem; review of machine learning algorithms; review of error estimation methods; software implementation; computational experiments; conclusions. The research methodology is based on variational calculus and functional analysis. The solution is parameterized by a neural network, boundary conditions are enforced analytically. Training is performed by minimizing the energy functional. Verification is carried out using computable majorants. Asoftware framework combining DeepONet and Deep Ritz was created. Computational experiments were conducted on problems with smooth and discontinuous coefficients, as well as on families of right-hand sides. It is shown that the variational formulation ensures training stability. The developed majorant computation algorithm provides a guaranteed upper bound for the error. Area of application: verification of neural network surrogate models in mechanics and engineering design, where strict reliability control is required. Conclusions: the developed approach demonstrates high efficiency, and functional a posteriori estimates serve as a reliable verification tool independent of the approximation method. Information technologies: Python programming language, PyTorch deep learning library.