Details

В данной работе исследуется модель теплопроводности со вторым градиентом — обобщение закона Фурье, учитывающее пространственные производные высших порядков. Цель работы: аналитическое и численное исследование модели, включающее анализ фундаментального решения, сравнение двух способов задания начальных условий и изучение предельных случаев. Методы исследования: преобразование Фурье и Лапласа, асимптотические методы, численное моделирование. Результаты: получены характеристические корни λ₁,₂(ξ), исследована их асимптотика. Для физичной постановки показано сохранение энергии и гладкость решения. Для нефизичной постановки показано нарушение закона сохранения энергии (линейный рост интеграла) и появление сингулярной компоненты δ(x). Численно подтверждено расщепление начального гауссиана на два горба, расходящихся в противоположные стороны. Исследовано влияние параметров α, β, γ. Для трёхмерного случая показано появление осцилляций и отрицательных значений температуры. Область применения: результаты могут быть использованы в дальнейших теоретических и численных исследованиях неклассических моделей теплопереноса. Выводы: физичная постановка термодинамически согласована и рекомендуется для моделирования; нефизичная — непригодна.

This work investigates the second gradient heat conduction model — a generalization of Fouriers law that takes into account higher-order spatial derivatives. Objective: analytical and numerical study of the model, including analysis of the fundamental solution, comparison of two types of initial conditions and investigation of limiting cases. Methods: Fourier and Laplace transforms, asymptotic methods, numerical simulation. Results: characteristic roots λ₁,₂(ξ) are obtained and their asymptotics are analyzed. For the physical formulation, energy conservation and smoothness of the solution are shown. For the unphysical formulation, violation of energy conservation (linear growth of the integral) and appearance of a singular component δ(x) are shown. Numerical simulations confirm the splitting of the initial Gaussian perturbation into two humps propagating in opposite directions. The influence of parameters α, β, γ is studied. For the three-dimensional case, fluctuations and negative temperature values are observed. Application area: the results can be used in further theoretical and numerical studies of non-classical heat transfer models. Conclusions: the physical formulation is thermodynamically consistent and recommended for modeling; the unphysical formulation is unsuitable.