Details

Данная работа посвящена анализу нелинейной краевой задачи в математической физике, исследованию гарантированных и полностью вычисляемых апостериорных оценок для нелинейной вязкой модели, связанной с антиплоским течением неньютоновской жидкости (жидкости Бингама) в трубе. Задачи, которые решались в ходе работы: 1. Получение гарантированных и вычисляемых апостериорных оценок для аппроксимаций минимайзера, построенных с использованием алгоритма Удзавы. 2. Проверка индекса эффективности полученной апостериорной оценки и индикации ошибки. 3. Реализация адаптивного алгоритма. Результаты численных экспериментов подтвердили, что данная нелинейная модель жидкости Бингама имеет свободную границу, и показали, что индекс эффективности полученной мажоранты не превосходит 2 и мажоранта дает правильное представление о распределении ошибок по потокам. На основе индикации реализован полный адаптивный алгоритм, который заключается в следующих этапах: 1. Начальная сетка Ω0 задана для k = 0. 2. Решив исходную задачу, мы получаем решение vk. 3. Используя индикатор, помечаем элементы, требующие уточнения. 4. Получаем новую сетку Ωk+1 и возвращаемся к шагу 2.

The topic of the final qualifying work: A posteriori analysis of approximate solutions to nonlinear problems of fluid theory. This work is devoted to the analysis of a nonlinear boundary value problem in mathematical physics, the study of guaranteed and fully computable a posteriori estimates for a nonlinear viscous model associated with the antiplane flow of a non-Newtonian fluid (Bingham fluid) in a pipe. Tasks that were solved during the work: 1. Obtaining guaranteed and computable a posteriori estimates for minimizer approximations constructed using the Uzawa algorithm. 2. Checking the efficiency index of the received a posteriori assessment and error indication. 3. Implementation of the adaptive algorithm. The results of numerical experiments confirmed that this nonlinear Bingham fluid model has a free boundary, and showed that the efficiency index of the obtained majorant does not exceed 2 and the majorant gives a correct idea of the error distribution along the flows. Based on the indication, a complete adaptive algorithm is implemented, which consists of the following steps: 1. The initial grid Ω0 is set for k = 0. 2. Having solved the original problem, we get the vk solution. 3. Using the indicator, we mark the elements that require clarification. 4. Get a new grid Ωk+1 and go back to step 2.

• Введение
• Постановка задачи
• Математическая корректность и численные аппроксимации
• Вывод апостериорной оценки
  • Апостериорная оценка для одного шага в методе Удзавы
  • Общая апостериорная оценка
• Пример
  • Аналитическое решение
  • Численное решение
  • Мажоранта
  • Индикатор ошибки
  • Адаптация сеток
  • Результат применения адаптации сеток
• Заключение
• Литература